ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутників, паралелограмів, трапеції і прямокутних трикутників.

1. \(AB.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Середня лінія трапеції \(KBCD.\)

Основи трапеції \(KBCD\) – це паралельні сторони \(BC\) і \(KD\ (BC=12\) см, \(KD=4\) см\().\) Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

Отже, правильна відповідь – В.

3. Відстань від точки \(B\) до сторони \(CD.\)

Відстань від точки до прямої – це довжина перпендикуляра, опущеного на цю пряму (тобто інша висота \((BH)\) паралелограма, проведена до сторони \(CD\)).

Площу паралелограма \(ABCD\) можна визначити двома способами \((S=a\cdot h){:}\)

Через основу \(AD\) й висоту \(BK{:}\)

\begin{gather*} S=AD\cdot BK=12\cdot 6=72\ \text{см}^2. \end{gather*}

Через основу \(CD\) й висоту \(BH\) (шукана відстань):

\begin{gather*} S=CD\cdot BH. \end{gather*}

Оскільки протилежні сторони рівні, то \(CD=AB=10\) см. Підставмо значення у формулу площі:

\begin{gather*} 72=10\cdot BH;\\[7pt] BH=72:10=7{,}2\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил обчислення первісної і визначеного інтеграла.

За означенням (формула Ньютона – Лейбніца), визначений інтеграл від функції \(f(x)\) дорівнює приросту її первісної \(F(x)\) на заданому проміжку:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a). \end{gather*}

За умовою первісна для функції \(f(x)\) дорівнює:

\begin{gather*} F(x)=4x^3-3x^2+9. \end{gather*}

Обчислімо

Відповідь: \(20.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність події.

Для обчислення ймовірності випадкової події використаймо класичне означення ймовірності: \(P(A)=\dfrac km\), де \(k\) – кількість потрібних місць (сприятливих подій), а \(m\) – загальна кількість місць у літаку (усіх можливих подій).

Загальна кількість місць у літаку \((m){:}\)

У літаку всього \(n\) рядів, і в кожному ряду по \(6\) крісел. Отже, загальна кількість місць:

\begin{gather*} m=6\cdot n. \end{gather*}

Кількість потрібних місць \((k){:}\)

Нам потрібні місця в перших трьох рядах. Оскільки в кожному ряду – \(6\) крісел, то в цих рядах загалом:

\begin{gather*} k=3\cdot 6=18. \end{gather*}

За умовою імовірність отримати таке місце дорівнює \(\dfrac{1}{14}.\) Підставмо обчислені значення у формулу ймовірності:

\begin{gather*} \frac{18}{6n}=\frac{1}{14}, \end{gather*}

cкоротімо дріб у лівій частині на \(6{:}\)

\begin{gather*} \frac 3n=\frac{1}{14}. \end{gather*}

Скористаймося основною властивістю пропорції (перемножмо навхрест):

\begin{gather*} n\cdot 1=3\cdot 14;\\[7pt] n=42. \end{gather*}

Відповідь: \(42.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на комбінації геометричних тіл, зокрема обчислювати об’єм правильної трикутної піраміди за відомими медіаною основи піраміди та твірною конуса.

Висоти конуса \((H_\text{К})\) та піраміди \((H_\text{П})\) рівні: \(H_\text{К}=H_\text{П}=H.\) Радіус основи конуса \((R)\) дорівнює радіусу кола, описаного навколо основи піраміди: \(R_\text{К}=R_\text{П}=R.\) Твірна конуса \(L=12\) см.

В основі піраміди лежить правильний (рівносторонній) трикутник, медіана якого \(m=9\) см. Оскільки трикутник правильний, медіана є також і висотою (\(h=9\) см).

У правильному трикутнику точка перетину медіан (центр описаного кола) ділить медіану у відношенні \(2:1\), починаючи відлік від вершини. Тому радіус описаного кола становить \(\dfrac 23\) від довжини медіани:

\begin{gather*} R=\frac 23\cdot m=\frac 23\cdot 9=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, радіус основи конуса також \(R=6\) см. Сторона правильного трикутника:

\begin{gather*} a=R\sqrt{3}.\\[7pt] a=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа правильного трикутника:

Розгляньмо прямокутний трикутник, утворений висотою конуса \(H\), радіусом основи \(R\) і твірною \(L.\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} H^2+R^2=L^2;\\[7pt] H^2+6^2=12^2;\\[7pt] H^2+36=144;\\[7pt] H^2=144-36;\\[7pt] H^2=108;\\[7pt] H=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди:

Відповідь: \(162.\)

ТЕМА: Раціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння з параметром.

Дріб дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник визначений і не дорівнює нулю.

Область допустимих значень (ОДЗ).

Для існування коренів виразу підкореневі вирази мають бути невід'ємними:

\begin{gather*} x\ge 0;\\[7pt] 3-x\ge 0;\\[7pt] x\le 3. \end{gather*}

Отже, допустимі значення змінної: \(x\in [0; 3].\)

(Зауважмо, що знаменник \(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\) ніколи не перетворюється на \(0\), бо сума двох невід'ємних чисел дорівнює нулю лише тоді, коли вони обоє одночасно дорівнюють нулю, що для \(x=0\) та \(x=3\) неможливо).

Прирівняймо чисельник до нуля:

\begin{gather*} 3^{\textstyle 2a-5x+2}-\sqrt{27}=0;\\[7pt] 3^{\textstyle 2a-5x+2}=\sqrt{27}. \end{gather*}

Зведімо обидві частини до однієї основи \(3\) (зважаємо на те, що \(27=\sqrt{3^3}=3^{\textstyle \frac 32}=3^{1{,}5}\)):

\begin{gather*} 3^{\textstyle 2a-5x+2}=3^{\textstyle 1{,}5}. \end{gather*}

Показники степенів рівні:

\begin{gather*} 2a-5x+2=1{,}5;\\[7pt] 5x=2a+0{,}5;\\[6pt] x=\frac{2a+0{,}5}{5}. \end{gather*}

Рівняння матиме корені, якщо обчислене значення \(x\) задовольняє ОДЗ, тобто належить проміжку \([0; 3]{:}\)

\begin{gather*} 0\le\frac{2a+0{,}5}{5}\le 3. \end{gather*}

Помножмо всі частини нерівності на \(5{:}\)

\begin{gather*} 0\le 2a+0{,}5\le 15;\\[7pt] 0-0{,}5\le 2a\le 15-0{,}5;\\[7pt] -0{,}5\le 2a\le 14{,}5. \end{gather*}

Поділімо на \(2{:}\)

\begin{gather*} -0{,}25\le a\le 7{,}25. \end{gather*}

\begin{gather*} a\in [-0{,}25; 7{,}25]. \end{gather*}

Найбільше значення \(a\), за якого рівняння має корені, дорівнює \(7{,}25.\)

Відповідь: \(7{,}25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні подвійні нерівності й порівнювати дійсні числа.

\begin{gather*} -4\lt 6-2x\lt 2. \end{gather*}

Віднімімо \(6\) від усіх частин нерівності:

\begin{gather*} -4-6\lt -2x\lt 2-6;\\[7pt] -10\lt -2x\lt -4. \end{gather*}

Поділімо на \(-2{:}\)
Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знаки нерівності змінюються на протилежні!

\begin{gather*} \frac{-10}{-2}\gt x\gt \frac{-4}{-2};\\[6pt] 5\gt x\gt 2;\\[7pt] 2\lt x\lt 5. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (2; 5).\) З наведених чисел лише \(3\) належить заданому проміжку.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів.

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x;\\[7pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[7pt] (-6x^3)^2=(-6)^2\cdot (x^3)^2=36x^6. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості найпростіших геометричних фігур для розв'язання задач практичного змісту.

Напрямки північ і схід перпендикулярні, тому кут між ними дорівнює \(90^\circ.\) Кут між напрямком північ і напрямком \(OA\) дорівнює \(15^\circ\), тому:

\begin{gather*} \angle AOB=90^\circ-15^\circ=75^\circ. \end{gather*}

Напрямок південний схід є бісектрисою прямого кута між напрямками схід і південь, тобто

\begin{gather*} \angle BOC=\angle COD=90^\circ: 2=45^\circ. \end{gather*}

Обчислімо шуканий кут повороту:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

За умовою температура повітря не перевищувала \(10\ ^\circ\mathrm{C}\), тому треба розглянути всі проміжки часу, де значення температури є меншим або дорівнює \(10\ ^\circ\mathrm{C}\ (t\le 10\ ^\circ\mathrm{C}).\)

Знайдімо на осі \(y\) відмітку \(10\ ^\circ\mathrm{C}\) і проведімо горизонтальну лінію через цю точку.

Від 0 до 7 год (з 00:00 до 07:00) температура підвищується з \(2\ ^\circ\mathrm{C}\) до \(10\ ^\circ\mathrm{C}\) включно. Тривалість підвищення: \(7-0=7\) год.

Від 22 до 24 год (з 22:00 до 24:00) температура знижується з \(10\ ^\circ\mathrm{C}\) до \(7\ ^\circ\mathrm{C}.\) Тривалість зниження: \(24-22=2\) год.

Сумарна кількість годин: \(7+2=9\) год.

Відповідь: A.