ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати інформацію, подану у графічній формі.

Кількість відвідувачів у червні становила \(\frac 14\) від сумарної кількості всіх відвідувачів.

На діаграмі Г правильно зображено розподіл відвідувачів.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Отже, квартира №31 знаходиться на 5 поверсі.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові, квадратні рівняння та рівняння з параметрами.

1. Розв'яжемо систему, якщо \(a=0\).

Підставимо у друге рівняння замість \(4^{\sqrt{y}}\) число 2.

Отже, за \(a=0\) розв'язком системи є \((-3;\ 0,25)\).

2. Нехай \(a\ne 0\).

Почленно додамо рівняння \begin{gather*} ax^2+3ax+4\cdot 4^{\sqrt{y}}-2x-4\cdot 4^{\sqrt{y}}+2=8\\[7pt] ax^2+3ax-2x-6=0,\\[7pt] ax^2+(3a-2)x-6=0. \end{gather*}

Отримаємо квадратне рівняння.

Система рівносильна сукупності систем:

Оскільки \(4^{\sqrt{y}}\geq 1\ \left(y\geq 0,\ \sqrt{y}\geq 0,\ 4^{\sqrt{y}}\geq 4^0\right)\), отримуємо

Тоді \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ \sqrt{y}=\log_4\frac{a-2}{2a}, & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ y=\log^2_4\frac{a-2}{2a}. & \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь:
1. \((-3;\ 0,25)\)
2. якщо \(a\in (-\infty;\ -2)\cup [0;\ +\infty)\), то розв'язком є \((-3;\ 0,25)\)
якщо \(a\in [-2;\ 0)\), то розв'язками є \((-3;\ 0,25)\) та \(\left(\frac 2a;\ \log^2_4\frac{a-2}{2a}\right)\).

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних та раціональних виразів.

Доведемо тотожність.
I спосіб:

Отже, вирази рівні.

ІІ спосіб:

Розкладемо вираз \(2a^2+5a-3\) на множники:

Розклали за формулою: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\), де \(x_1,\ x_2\) – корені квадратного тричлена.

Отримаємо, \begin{gather*} \frac{(2a-1)(a+3)}{a+3}=\frac{1-2a}{-1}\\[6pt] 2a-1=2a-1, \end{gather*} вирази рівні.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

1. Прямокутник \(ABCD\) - осьовий переріз циліндра.

\(AC=BD=d\). Точка \(K\) лежить на колі нижньої основи циліндра \(\smile AK=90^\circ\), тому \(\angle AOK=90^\circ\).

Пряма \(KD\) – пряма перетину площини \((KBD)\) з площиною нижньої основи.

\(\angle AKD=90^\circ\) (як вписаний кут, що спирається на діаметр), то \(AK\perp KD\).

Таким чином, \(\angle AKB=\mathbf{\gamma}\) – лінійний кут двогранного кута між площинами (\(BKD)\) і площиною основи циліндра.

2. \(\triangle AKD\) – рівнобедрений (\(KO\) – медіана та висота) \(AD=d\cos\mathbf{\beta}\), тому за теоремою Піфагора:

Отже, \(\mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\right)\).

Відповідь: 2. \(\mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\right)\).

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, побудову осьового перерізу циліндру.

1. Осьовий переріз циліндра (прямокутник \(ABCD\)) зображено на рисунку:

2. Твірна \(CD\) перпендикулярна основі, \(CA\) – діагональ, \(AD\) – проекція діагоналі на нижню основу циліндра. Отже, \(\angle CAD=\mathbf{\beta}\).

3. Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\mathbf{\pi}R^2H, $$ де \(R=OA=OD\) – радіус основи циліндра, \(H=CD\) – висота.

Отже,

Відповідь: \(\frac{\mathbf{\pi}d^3\cos^2\mathbf{\beta}\cdot \sin\mathbf{\beta}}{4}\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної. Побудова графіків функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну функції, нулів функції, екстремумів функції, будувати графіки функцій; знання достатньої умови зростання (спадання) функції.

Задано функцію \(y=x^3-3x\)

1.

2. Точки перетину графіка \(y=x^3-3x\) із віссю \(x\) знаходимо за умови \(y=0\): \begin{gather*} x^3-3x=0,\ \ x(x^2-3)=0,\\[7pt] x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x=0 & \\ x=\sqrt{3}& \\ x=-\sqrt{3}& \end{array}\right. \end{gather*} \((0;\ 0),\ (\sqrt{3};\ 0),\ (-\sqrt{3};\ 0)\) – точки перетину з віссю \(x\).

3.

4. \begin{gather*} f'(x)=0,\ \ 3x^2-3=0,\\[7pt] 3(x^2-1)=0,\ \ 3(x-1)(x+1)=0\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x-1=0 & \\ x+1=0& \end{array}\right. \ \ \left [ \begin{array}{l l} x=1 & \\ x=-1& \end{array}\right. \end{gather*}

5. Визначимо проміжки зростання і спадання функції

При \(f'(x)\gt 0\) функція зростає, при \(f'(x)\lt 0\) – спадає. Отже,
\(f(x)\) зростає при \(x \in (-\infty;\ -1]\) i \([1;\ +\infty)\);
\(f(x)\) спадає при \(x\in [-1;\ 1]\).

Точки екстремуму: \(x_{max}=-1;\ \ x_{min}=1\),
екстремуми функції: \(f_{max}=f(-1)=2;\ \ f_{min}=f(1)=-2\).

6.

Відповідь:

1. \(x=0,\ \ y=0,\)
\(x=-1,\ \ y=2,\)
\(x=2,\ \ y=2\).
2. \((0;\ 0),\ (\sqrt{3};\ 0),\ (-\sqrt{3};\ 0)\).
3. \(f'(x)=3x^2-3\).
4. \(x=1;\ \ x=-1\).
5. Проміжки зростання: \((-\infty;\ -1],\ [1;\ +\infty)\)
проміжок спадання: \([-1;\ -1]\)
\(x_{max}=-1;\ \ x_{min}=1\).
\(f_{max}=2;\ \ f_{min}=-2\).

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановок, комбінаторних правил суми та добутку.

Послідовність розміщення 6 новин у стрічці:

Кількість розміщень політичних новин в стрічці \(2!\), а суспільних новин – \(3!\). Спортивна новина 1 та йде останньою.

За правилом добутку кількість розміщення цих 6 новин: $$ 2!\cdot 3!=1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3=12 $$

Відповідь: 12.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння, що зводяться до квадратних.

Рівняння \(x^4-x^2-20=0\) – біквадратне. Розв'яжемо заміною:

Повернемось до заміни:

Добуток його дійсних коренів: $$ x_1\cdot x_2=\sqrt{5}\cdot (-\sqrt{5})=-5. $$

Відповідь: –5.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів та знаходити їх числове значення.

Вираз \(3a-4=3\cdot 0,7-4=2,1-4=-1,9\).

Отже, \(|3a-4|=-3a+4\).

Значення виразу $$ -6a+4=-6\cdot 0,7+4=-4,2+4=-0,2. $$

Відповідь: –0,2.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь, на пропорційні величини та пропорційний поділ.

Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності. Дезінфікувальний розчин містить:
\(2x\ \text{г}\) – концентрату
\(7x\ \text{г}\) – води
\(\frac{7x}{10}\ \text{г}\) – ароматичної рідини. Разом \(485\ \text{г}\)

\begin{gather*} 2x+7x+0,7x=485\\[7pt] 9,7x=485\\[7pt] x=50. \end{gather*} Концентрату потрібно $$ 2x=2\cdot 50=100\ \text{г}. $$

Відповідь: 100.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події, правила добутку ймовірностей.

У класі 26 дітей. Учительна навмання формує пари дітей. Імовірність того, що Дарина сидітеме за однією партою з дівчинкою: $$ P(A)=\frac{14}{25}=0,56 $$

Дівчат у класі, крім Дарини, чотирнадцять. Усього дітей у класі (без Дарини) – 25.

Відповідь: 0,56.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії.

Арифметичну прогресію задано \(a_n=2,6n-7\)

1. \(a_7=2,6\cdot 7-7=18,2-7=11,2\)

2.

Отже,

Відповідь: 1. 11,2. 2. 7,8.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з векторами, знаходити координати та скалярний добуток векторів.

1. \begin{gather*} A(x;\ y;\ z)\ \ \overline{AB}(7-x;\ -2-y;\ 0-z)\\[7pt] \overline{AB}(7-x;\ -2-y;\ -z)\\[7pt] \overline{AB}(-3;\ 8;\ 1)\\[7pt] 7-x=-3,\ x=10,\\[7pt] -2-y=8,\ y=-10,\\[7pt] -z=1,\ z=-1. \end{gather*} ордината \(\text{т.}\ A\ =\ -10\).

2.

За формулою скалярного добутку:

Відповідь: 1. –10. 2. –111.