ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння будувати перерізи призми, знання теореми про три перпендикуляри, кута між прямою та площиною, вміння розв’язувати стереометричні задачі.

1. \(ABCA_1B_1C_1\) – правильна трикутна призма, основа – \(\Delta ABC\) – рівносторонній
\(BK\perp AC\) – висота \(\Delta ABC.\)
\(CC_1=H\) – висота призми.
Кутом між \(BC_1\) та \((ABC)\) є кут між прямою \(C_1B\) та її проекцією \(BC.\) Отже, \(\angle C_1BC=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\)

\(KC_1\in (ACC_1)\), \(BC_1\in (BCC_1)\), звідси \(\Delta BKC_1\) – заданий переріз.

2. За умовою \(BK\perp AC\). Оскільки \(CC_1\perp (ABC)\), то за теоремою про три перпендикуляри \(C_1K\perp BK.\) Отже, \(\Delta C_1KB\) – прямокутний з \(\angle K=90^\circ.\)

3. \(\Delta BCC_1\ (\angle C=90^\circ)\), \(BC=H\mathrm{ctg}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\)

Оскільки \(\Delta ABC\) - рівносторонній, то висота \(BK\) є медіаною.

Відповідь: \(\frac{\sqrt{3}H^2}{8}\sqrt{4+\mathrm{ctg}^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}\cdot \mathrm{ctg}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійної та логарифмічної функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(f(x)=3-\frac x4\)

2. \(g(x)=\log_2x\)

3. Точка перетину графіків \(A(4; 2).\)

4. Розв'язок нерівності \(f(x)\ge g(x)\) знаходимо за рисунком.

Тобто знаходимо такі значення \(x\), при яких графік функції \(f(x)\) лежить вище графіка \(g(x).\) Це проміжок \(x\in (0; 4].\)

Відповідь: 3. \((4; 2).\)
                   4. \(x\in (0; 4].\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, складати рівняння кола, застосовувати властивості прямокутного трикутника, використовувати формули площі трикутника.

Коло задане рівнянням \((x-3)^2+y^2+2y=16.\)

Запишемо у стандартному вигляді
\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), де \((a; b)\) – центр кола, \(R\) – радіус
\((x-3)^2+y^2+2y+1=16+1\)
\((x-3)^2+(y+1)^2=17.\)
\((3; -1)\) – центр кола, \(R=\sqrt{17}.\)

Точка \(A(2; -5)\), \(B(4; 3).\) Центр кола \(O(3; -1)\) є серединою відрізка \(AB\) $$ x=\frac{2+4}{2}=3;\ \ y=\frac{-5+3}{2}=-1. $$

Отже, \(\Delta ABC\) – рівнобедрений прямокутний з гіпотенузою \(AB=2\sqrt{17}.\)

Висота, проведена до гіпотенузи, – медіана та радіус описаного кола.

Отже, \(S_{ABC}=\frac 12 AB\cdot OC\), \(OC=R=\sqrt{17}.\)

\(S_{ABC}=\frac 12\cdot 2\sqrt{17}\cdot \sqrt{17}=17.\)

Відповідь: \(17.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.

Оскільки спочатку інформацію промовляють українською, то таких варіантів – один.

Далі \(4\) елементи: англійська, німецька, російська, польська переставляються. Отже, за формулою $$ P_n=n! $$ знаходимо $$ P_4=4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24. $$

За правилом добутку знаходимо загальнку кількість можливих варіантів: $$ 1\cdot 24=24. $$

Відповідь: \(24.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь конуса.

Площа основи конуса – \(S_\text{основи}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^2\), \(R^2=100\), \(R=10\) см. \(OB=10\) см.

Об'єм конуса знаходимо за формулою:

\(V=\frac 13S_\text{основи}H,\) де \(S_\text{основи}=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^2\), \(H=AO.\)

\(\frac 13\cdot 100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot H=800\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\), \(H=24\) см.

У \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\(AB=26\) см – твірна конуса.

Відповідь: \(26.\)