ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння знаходити числове значення буквеного виразу.

За формулою \(\mathrm{F}=1\mathord{,}8\cdot \mathrm{C} +32\) знаходимо значення, яке показуватиме термометр, якщо \(\mathrm{C}=50^\circ.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Спростимо вираз за формулою "різниці квадратів":

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей та графіків функцій.

Правильна відповідь – Г\((4; -2).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, суміжних кутів.

За властивістю суміжних кутів $$ \angle ABM+\angle CBA=180^\circ. $$

За властивістю паралелограма \(\angle B=\angle D=155^\circ\) як протилежні.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння.

Розв'яжемо квадратне рівняння: \begin{gather*} x^2-8x+15=0,\\[6pt] D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4,\\[6pt] x_1=\frac{8+2}{2\cdot 1}=5,\\[6pt] x_2=\frac{8-2}{2\cdot 1}=3. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників.

Прямою трикутною призмою є призма, основою якої є трикутник, а бічні ребра перпендикулярні до площини основи. Це означає, що всі бічні грані - прямокутники.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

\(40\) учасників семінару мають бути забезпечені двома пляшками води. Отже, потрібно \(80\) пляшок.

Упаковка містить \(12\) пляшок води. \(80:12=6\) (остача \(8\)). Тобто, потрібно \(6\) упаковок та \(8\) пляшок води.

Отже, найменша кількість упаковок, яких вистачить для всіх учасників семінару - \(7\) шт.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

На діаграмі відображено інформацію про кількість проданих телевізорів.

У січні – \(270\),
лютому – \(160\),
березні – \(260\),
квітні – \(230\),
травні – \(280\),
червні – \(320.\)

Правильна відповідь – B (у березні продано телевізорів більше, ніж у лютому).

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності, логарифмічні нерівності з параметрами та їхні системи.

1. Розв'яжемо методом інтервалів першу нерівність: $$ \frac{3(x+2)}{x}\le 0,\ \ x=-2,\ \ x\ne 0. $$

Отже, \(x\in [-2; 0).\)

2. Розв'яжемо другу нерівність:

1) При \(a\in (1; 2)\) функція \(y=\log_{(a/2)}x\) спадна, отже,

$$ x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-3]. $$

2) При \(a\in (2; +\infty)\) логарифмічна функція зростаюча

\begin{gather*} |x-a+2|\ge a-1,\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x-a+2\ge a-1,\\ x-a+2\le 1-a, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\ge 2a-3,\\ x\le -1. \end{array}\right. \end{gather*}

$$ x\in (-\infty; -1]\cup [2a-3; +\infty). $$

Відповідь: при \(a\in (0; 1]\cup {2}\) немає розв'язків;

3. Розв'яжемо систему нерівностей:

при \(a\in (1; 1\mathord{,}5)\)

$$ x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-3] $$

при \(a\in (1\mathord{,}5; 2)\)

$$ x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-0] $$

при \(a\in (2; +\infty)\)

$$ x\in [-2; -1] $$

при \(a= 1\mathord{,}5\)

$$ x\in [-1; -0\mathord{,}5)\cup (-0\mathord{,}5; 0). $$

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.

\(OA=R\), \(SA=l\), \(AB\) – хорда.

1. \(\Delta SAB\) – переріз площиною \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\), яка проведена через вершину \(S\) та хорду \(AB.\) \(SA=SB=l\) – твірна конуса, отже, \(\Delta SAB\) – рівнобедрений.

2. Проведемо \(OK\ \perp\ AB.\) \(SO\ \perp\ (OAB)\), \(SK\) – похила, \(OK\) – проекція похилої \(SK\) на \((OAB).\) За теоремою про три перепендикуляри: якщо \(OK\ \perp\ AB\), то \(SK\ \perp AB.\) \(SK\cap OK.\)

За ознакою перпендикулрності прямої та площини \(AB\ \perp\ (SOK)\), тому \(\angle SKO=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) – лінійний кут відповідного двограного між площинами \((SAB)\) i \((OAB).\)

3. У \(\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора: \begin{gather*} SA^2=SO^2+OA^2,\\[7pt] SO^2=SA^2-OA^2=l^2-R^2,\\[7pt] SO=\sqrt{l^2-R^2}. \end{gather*}

У \(\Delta SAB\ SA=SB=l\), \(SK\) – висота, медіана. \(AK=KB.\)

У \(\Delta SKA\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(2l+\frac{2}{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}\sqrt{R^2-l^2\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний зміст.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, розв'язувати задачі з використанням геометричного змісту похідної.

Задано функції \(f(x)=\frac 3x\) i \(g(x)=5-3x.\)

1. \(f(x)=\frac 3x\) обернена пропорційність, графік – гіпербола.

2. \(g(x)=5-3x\) – лінійна функція, графік – пряма.

4. Дотичні до графіка функції \(f(x)=\frac 3x\) паралельні прямій \(g(x)=5-3x.\)

Отже, \(f'(x_0)=k=-3.\)

Підставимо значення похідної в точці в похідну:

\(\frac{-3}{x_0^2}=-3\), \(x_0^2=1\), \(x_0=1\) або \(x_0=-1.\)

Відповідь: 3. \(f'(x)=-\frac{3}{x^2}.\)
                   4. \(x_0=1\) або \(x_0=-1.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів.

Запишемо рівняння кола у вигляді:

\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), де \((a; b)\) – центр кола, \(R\) – радіус.
\((x^2-8x+16)+y^2-16+7=0\),
\((x-4)^2+y^2=9\), \(O(4; 0)\) – центр кола.

За формулою знаходження координат середини відрізка знаходимо координати точки \(D:\)

Знайдемо координати векторів \(\overline{AB}\) та \(\overline{AD}:\)

\(\overline{AB}(0-(-4); 3-(-3))\), \(\overline{AB}(4; 6)\), \(\overline{AD}(12; 0).\)

Знайдемо довжини векторів:

Відповідь: \(72.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість способів вибрати тарілку – \(6\), чашку та блюдце \(8\cdot 12=96.\)

Якщо влаштовує варіант вибрати або тарілку, або чашку та блюдце, то, використовуючи комбінаторне правило додавання, отримаємо \(96+6=102\) способи купити подарунок.

Відповідь: \(102.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач.

\(2\) год \(15\) хв \(=2\frac 14\) год.

Нехай власна швидкість телохода \(x\) км/год, тоді швидкість за течією \((x+2)\) км/год, проти течії – \((x-2)\) км/год. Оскільки відстань, яку пройшов теплохід за течією та проти течії, однакова, то складемо рівняння

Отже, власна швидкість теплохода \(34\) км/год.

Відповідь: \(34.\)