Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

1.

\(\angle A=90^\circ\), \(AC\) бісектриса, \(\angle BAC=45^\circ.\)

\(\Delta ABC\) – рівнобедрений \((\angle B=90^\circ)\), \(AB=BC=6\) см.
Отже, 1 – A.

2. \(CH\perp AD\), \(HD\) – проекція \(CD\) на \(AD.\)

У \(\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ)\), \(CH=6\) см, \(HD=8\) см (єгипетський).
Отже, 2 – Б.

3. \(ABCH\) – квадрат.

\(BC=AH=6\) см, \(AD=AH+HD=14\) см.

Cередня лінія трапеції $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{6+14}{2}=10\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв’язування задач, виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних виразів.

1. \(a^0=1.\)
Отже, 1 – Г.

2. \(|a|+a=-a+a=0.\)

За означенням модуля $$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \ \text{якщо}\ \ a\gt 0\\ 0,\ \ \text{якщо}\ \ a=0\\ -a,\ \ \text{якщо}\ \ a\lt 0 \end{array}\right. $$ Отже, 2 – A.

3. \(a\log_22^a=a^2\log_22=a^2.\)
Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=\sqrt{x-4}\) не визначена в точці \(x=1.\)

Отже, 1 – Б.

2. \(y=x+4\) набуває додатного значення при \(x=-3.\) $$ y(-3)=-3+4=1. $$

Отже, 2 – Г.

3. \(y=x^3\) – непарна (симетричний графік відносно початку координат). $$ y(-x)=(-x)^3=-x^3=-y(x). $$

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання означення первісної функції.

Функція \(F(x)=5x^4-1\) є первісною функції \(f(x).\)

Формула, яка задає всі первісні функції \(f(x)\) $$ F(x)=5x^4+C, $$ де \(C\) – будь-яке число.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє вміння знаходити довжину кола та його дуги.

Довжина кола \(C=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R\), \(R=27\) м. Отже, довжина всього кола $$ C=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 27=54\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \textit{м}. $$

Оскільки до каркаса прикрілено \(18\) кабінок, то довжина дуги \(AB\) дорівнює

$$ l_{AB}=\frac{54\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{18}=3\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\approx 3\cdot 3\mathord{,}14=9\mathord{,}42\ \textit{м}. $$

Найближча до точної відповідь Б.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про призму та її елементи, вміння знаходити площу трикутника.

\(ACDE\) – прямокутник, \(P=38\) см, \(AE=CD=11\) см.

$$AC=DE=(38-11\cdot 2):2=8\ \textit{см}.$$

Площа основи призми – площа \(\Delta ABC (AB=BC=AC).\)

За формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де \(a\) – довжина сторони, знаходимо площу $$ S=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

Запишемо подвійною нерівністю: \begin{gather*} \sqrt{8}\lt x\lt \sqrt{81}\\[7pt] \sqrt{8}\lt \sqrt{9}=3,\ \ \sqrt{81}=9\\[7pt] 3\le x\lt 9 \end{gather*} \(x=3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) – шість цілих чисел.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння, порівнювати дійсні числа.

За означенням логарифма $$ x=64^{\frac 12}=\sqrt{64}=8 $$ \(6\lt 8\lt 32\) – проміжок, якому належить корінь.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжемо систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 6\gt 2x,\\ 7x-28\le 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 3,\\ 7x\le 28, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 3,\\ x\le 4. \end{array}\right.\\[7pt] x\in (-\infty; 3). \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, знання основних співвідношень між тригонометричними функціями одного аргументу.

Спростимо вираз

$$ (1+\mathrm{tg}^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})\cdot \sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\frac{1}{\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}\cdot \sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\frac{\sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=\mathrm{tg}2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. $$

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Якщо графік функції \(y=f(x)\) паралельно перенесли вздовж осі \(y\) на \(3\) одиниці вниз, то отримаємо \(y=f(x)-3.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Розкладемо вираз \((x+y)^2-9x^2\) на множники за формулою "різниця квадратів":

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

У \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\), \(OB=r\), \(AB=l\), \(\angle A=60^\circ.\) $$ \sin 60^\circ=\frac rl=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.

I правильне. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

II неправильне. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл – властивість паралелограма.

III правильне. Діагоналі перпендикулярні – властивість будь-якого квадрата.

Відповідь: Д.