ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

I – неправильне твердження. Трапеція – це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні (основи), а дві інші – ні (бічні).

IІ – правильне твердження. Основи трапеції – паралельні відрізки, бічна сторона – січна. Кути, прилеглі до бічної сторони – внутрішні односторонні кути, і за властивістю паралельних прямих їх сума дорівнює \(180^\circ.\)

III – неправильне твердження. Наведемо контрприклад. У прямокутній трапеції сума протилежних кутів не дорівнює \(180^\circ.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Використаємо основну властивість пропорції: \begin{gather*} \frac ab=\frac cd\ =\gt\ a\cdot d=b\cdot c\\[6pt] E=\frac{mv^2}{2}\\[6pt] 2E=mv^2\\[6pt] m=\frac{2E}{v^2}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події.

Ймовірність випадкової події знаходимо за формулою: $$ P=\frac mn, $$ де \(m\) – кількість сприятливих результатів події, \(n\) – кількість можливих результатів.

Отже, \(n=12\) – всього видів морозива, \(m=8\) – видів фруктового. $$ P=\frac{8}{12}=\frac 23. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площі поверхні циліндра.

Розгорткою бічної поверхні циліндра є прямокутник.
Площа бічної поверхні \(S=lh.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати степеневі рівняння.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

За умовою, абсциса точки від'ємна, а ордината – додатна. З наведених варіантів відповідей задовольняє Б і Г. Після перевірки за графіком встановлюємо, що \((-1; 2)\) належить графіку.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів.

$$ a^n:a^m=a^{n-m}. $$ Отже, $$ \frac{3x^2y}{9xy^3}=\frac{1\cdot x\cdot 1}{3\cdot 1\cdot y^2}=\frac{x}{3y^2}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми.

У прямокутному паралелепіпеді бічні ребра є висотами. Отже, \begin{gather*} 4h=120,\\[7pt] h=120:4,\\[7pt] h=30\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на \(6.\) \begin{gather*} \frac x2+\frac x3=2\ |\cdot 6\\[6pt] 3x+2x=12\\[7pt] 5x=12\\[7pt] x=12:5\\[7pt] x=2\mathord{,}4. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити периметр.

$$ AB : BC = 2 : 5. $$ Нехай \begin{gather*} AB=CD=2x\ \text{см},\\[7pt] BC=AD=5x\ \text{см},\\[7pt] P_{ABCD}=2(AB+BC). \end{gather*} Отже, \begin{gather*} 2(2x+5x)=28\\[7pt] 14x=28\\[7pt] x=2. \end{gather*} Більша сторона прямокутника $$ BC=5x=5\cdot 2=10\ \text{см}. $$

Відповідь: A.

Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє знання правил округлення цілих чисел.

В числі \(1265\): цифра "\(2\)", позначає сотні, а наступна цифра "\(6\)" – позначає десятки.

Округлення до сотень означає, що ми дивимося на число, яке позначає десятки, щоб вирішити – збільшувати сотні чи залишити як є. Оскільки \(6 \gt 5 \rightarrow\) округлюємо вгору. Отже, \(1265 \approx 1300\) км.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння та нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, показникові рівняння з параметром, раціональні нерівності.

1. Розв'яжемо рівняння: \begin{gather*} \sqrt{\frac{x+8}{x+3}-2}=0,\ \ \left\{\begin{array}{l} \frac{x+8}{x+3}-2=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right. \\[6pt] \left\{\begin{array}{l} \frac{x+8-2(x+3)}{x+3}=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} \frac{x+8-2x-6}{x+3}=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right. \\[6pt] \left\{\begin{array}{l} \frac{2-x}{x+3}=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x=2,\\ x\ne -3, \end{array}\right. \end{gather*} Отже, \(x=2.\)

2. Розв'яжемо в залежності від параметра \(a\)

Нерівність \(\frac{2-x}{x+3}\ge 0\) розв'яжемо методом інтервалів:
$$ \frac{-(x-2)}{x+3}\ge 0,\ \ \frac{x-2}{x+3}\le 0, $$

$$ \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} 5^x=a,\\ x=2, \end{array}\right. \\ x\in (-3; 2]. \end{array}\right. $$ \(x_1=2\) – розв'язок рівняння при будь-якому значенні \(a.\)

Рівняння \(5^x=-a\) має розв'язки при \(a\lt 0.\) \(x_2=\log_5(-a)\) буде коренем рівняння при \(-3\lt x_2\le 2.\)
\(-3\lt x_2\le 2.\)

\(x_1=x_2\), якщо \(5^2=-a\), \(a=-25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, доводити нерівності.

\((x-y)^2\ge 0\) при будь-яких значеннях \(x\) та \(y.\)

Виділили квадрат двочлена з виразу \((x^2+xy+y^2)\), отримали суму двох невід'ємних виразів, які одночасно не дорівнюють нулю.

Отже, вираз \(x^2+xy+y^2\gt 0\) при будь-яких значеннях \(x\) та \(y.\)

Якщо \((x-y)^2\ge 0\) та \(x^2+xy+y^2\gt 0\), то і їхній добуток \((x-y)^2(x^2+xy+y^2)\ge 0\), що й вимагалося довести.