Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики. Перестановки. Комбінаторні правила добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру; знання комбінаторного правила добутку.

Солісті – \(4\), гурти – \(3.\)

Варіантів скласти послідовності виступів солістів \(4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24.\)

Варіантів скласти послідовність гуртів \(3!=1\cdot 2\cdot 3=6.\)

За комбінаторним правилом добутку знаходимо кількість варіантів виступів:
\(24\cdot 6=144.\)

Відповідь: \(144.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом, розв'язувати рівняння першого степеня.

Нехай \(x\) км/год – швидкість автобуса від \(A\) до \(B.\) Тоді:

Оскільки відстань від \(A\) до \(B\) така сама як і від \(B\) до \(A\), то складемо рівняння: \begin{gather*} 5x=4\mathord{,}5(x+8),\\[7pt] 5x=4\mathord{,}5x+36,\\[7pt] 0\mathord{,}5x=36,\\[7pt] x=72. \end{gather*}

Відповідь: \(72.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Рівняння.

Це завдання перевіряє знання основної властивості арифметичної прогресії; уміння розв'язувати квадратні рівняння.

Задана арифметична прогресія: \begin{gather*} a_1=x^2-4,\\[7pt] a_2=3-5x,\\[7pt] a_3=2-3x. \end{gather*}

За властивістю арифметичної прогресії: \begin{gather*} a_2=\frac{a_1+a_3}{2},\\[6pt] 3-5x=\frac{x^2-4+2-3x}{2},\\[6pt] 6-10x=x^2-3x-2,\\[7pt] x^2+7x-8=0,\\[6pt] x_1=\frac{-7+9}{2}=1,\\[6pt] x_2=\frac{-7-9}{2}=-8. \end{gather*} Від'ємне значення \(x=-8.\)

Відповідь: \(-8.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості ромба до розв'язування планіметричних задач; знання теореми Піфагора, формули площі трикутника.

\(OK=3\) см, \(S_{AOD}=15\) см\(^2.\)

1. \(\Delta AOD\) \begin{gather*} S_{AOD}=\frac 12AD\cdot OK,\\[6pt] 15=\frac 12\cdot AD\cdot 3,\\[6pt] AD=10\ \textit{см}. \end{gather*}

2. \(BE\ \perp\ AD\) висота ромба \(BO=OD\), \(KD=EK\) (за теоремою Фалеса).

У \(\Delta BED\ OK\) – середня лінія. \(BE=2OK=6\) см.

\(\Delta ABE\ (\angle E=90^\circ)\ AB=10\) см, \(BE=6\) см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=BE^2+AE^2,\\[7pt] AE=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \textit{см},\\[6pt] \mathrm{tg}\ A=\frac{BE}{AE}=\frac 68=\frac 34=0\mathord{,}75. \end{gather*}

Відповідь: 1. \(10.\)
                   2. \(0\mathord{,}75.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відсоткові розрахунки.

1. Розглянемо можливі варіанти доставки багажу:
– усі вантажі доставлять окремо:
\(P=100+100+100=300\) (грн).
– усі вантажі доставлять разом:
вантаж важить: \(31+36+40=107\) (кг). \(P=310\) (грн).
– один вантаж доставлять окремо від двох інших:
\(40\) кг вартістю \(100\) грн, \(31+36=67\) кг – вартістю \(110\) грн.
\(P=100+110=210\) (грн).
Отже, найменша сума грошей – \(210\) грн.

2. \(P=210\) грн, загальна сума грошей за доставку цих трьох вантажів, якщо кожен відправити окремо – \(300\) грн.

\((210 : 300)\cdot 100\text{%}=70\text{%}.\)

Відповідь: 1. \(210.\)
                   2. \(70.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання про взаємне розміщення прямих у просторі, площин у просторі, многогранників та їхніх елементів.

1. \(AC\cup CC_1\), \(AC\ \perp\ CC_1\),

\(\left.\begin{array}{l} CC_1\ \perp\ (ABC),\\ AC \in (ABC), \end{array}\right| \rightarrow CC_1\ \perp\ AC.\)
Отже, 1 – B.

2. Прямі \(AB_1\) та \(CD_1\) мимобіжні, не лежать в одній площині та не перетинаються.
Отже, 2 – Б.

3. \(\Delta ACD_1\) – рівносторонній, так як \(AC=CD_1=AD_1\) (діагоналі рівних квадратів).
\(\angle(AC\), \(CD_1)=\angle ACD_1=60^\circ.\)
Отже, 3 – Д.

4. \(AB_1\ ||\ C_1D\) не перетинаються та лежать в одній площині \((AB_1C_1).\)
Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д, 4 – A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання про трапецію та її властивості; середню лінію трапеції, вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники, теореми Піфагора.

\(OK=4\), \(CD=10.\)

1. Висота трапеції – діаметр кола \(AB=8.\)
Отже, 1 – Б.

2. \(CE\ \perp\ AD\), \(ED\) – проекція сторони \(CD\) на \(AD.\)

\(\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора $$ ED=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6. $$ Отже, 2 – A.

3. За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола $$ AB+CD=BC+AD=18. $$ Нехай \(BC=AE=x\), тоді \begin{gather*} BC+AD=x+x+6=18,\\[7pt] 2x=12,\ \ x=6,\\[7pt] AD=AE+ED=6+6=12. \end{gather*} Отже, 3 – Г.

4. Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{18}{2}=9. $$ Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г, 4 – B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння розрізняти види чисел.

1. \(\frac 35\) правильний дріб. Отже, 1 – Б.

2. \(\frac 65=1\frac 15=1\mathord{,}2\in (1; 1\mathord{,}5).\)
Отже, 2 – Д.

3. \(\frac 85=1\frac 35=1\mathord{,}6=7^{\log_7 1\mathord{,}6}.\)
Отже, 3 – Г.

4. \(\sqrt[3]{\frac 18}+\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac 12+\frac 53=\frac{13}{6}.\)
Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – Г, 4 – A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, тригонометричні, логарифмічні функції.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1.

Не має спільних точок з віссю \(x.\) Отже, правильна відповідь – Г.

2.

Має безліч спільних точок з віссю \(x.\) Отже, правильна відповідь – B.

3.

Проходить через точку \((1; 3).\) Отже, правильна відповідь – Д.

4.

Не перетинає вісь \(y.\) Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Д, 4 – A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 2^{x+3}-3\cdot 2^x=10\sqrt{2}\\[7pt] 2^x(2^3-3)=10\sqrt{2}\\[7pt] 2^x\cdot 5=10\sqrt{2}\\[7pt] 2^x=2\sqrt{2}\\[7pt] 2^x=\sqrt{8}\\[7pt] 2^x=2^{\frac 32}\\[7pt] 2^x=2^{1\mathord{,}5}\\[7pt] x=1\mathord{,}5. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку \([1; 2).\) Отже, правильна відповідь Г.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

\(CP\ ||\ OB\), \(NF\ ||\ OK\) (додаткові побудови).

\begin{gather*} OK=1\mathord{,}2\ \textit{м}\\[7pt] OP=BC=0\mathord{,}3\ \textit{м}\\[7pt] OM=1\mathord{,}2-0\mathord{,}5=0\mathord{,}7\ \textit{м}\\[7pt] PM=OM-OP=0\mathord{,}4\ \textit{м}=HE. \end{gather*} Аналогічно, \(HD=0\mathord{,}4\ \textit{м}.\)

\(\Delta HED\) – прямокутний, рівнобедрений, з катетами \(HE=DH=0\mathord{,}4\ \textit{м}.\)

За теоремою Піфагора

$$ DE=\sqrt{HE^2+HD^2}=\sqrt{0\mathord{,}32}\ \textit{м}. $$

Число \(\sqrt{0\mathord{,}32}\) можна оцінити наступним чином: $$ \sqrt{0\mathord{,}25}\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt \sqrt{0\mathord{,}36}, $$ тобто \(0\mathord{,}5\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt 0\mathord{,}6.\)

Серед відповідей цю нерівність задовольняє число \(0\mathord{,}55\) м.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Якщо фігура обмежена графіками двох функцій, то границі інтегрування – точки їх перетину.

Функції \(f(x)\) та \(g(x)\) перетинаються в точках \(x=2\) та \(x=7\), отже межі інтегрування від \(2\) до \(7.\) У межах від \(2\) до \(7\) функція \(f(x)\) лежить вище функції \(g(x)\), отже, запишемо формулу для обчислення площі зафарбованої фігури: $$ S=\mathop{\int}\limits_2^7(f(x)-g(x))dx. $$

Отже, правильна відповідь Г.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання многогранників та їхніх елементів.

\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат зі стороною \(6\) см. \(SK\) – апофема.

$$ \left.\begin{array}{l} SK\ \perp\ CD,\\ OK\ \perp\ CD, \end{array}\right| \rightarrow (SOK)\ \perp\ CD\rightarrow $$ \(\angle SKO=60^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами \((SCD)\) та \((ABC).\)

\begin{gather*} \Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] OK=\frac 12AD=3\ \textit{см}\\[6pt] SK=\frac{OK}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{\frac 12}=6\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK, \end{gather*} де \(P_\text{осн}\) – периметр основи.

\begin{gather*} P_\text{осн}=4\cdot 6=24\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK=\frac 12\cdot 12\cdot 6=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь першого степеня.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2y=5x,\\ x+y=14, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=\frac 52x,\\ x+\frac 52x=14, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=\frac 52x,\\ \frac 72x=14, \end{array}\right. \\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=\frac 52x,\\ x=14:\frac 72, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=\frac 52x,\\ x=4, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=10,\\ x=4. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'язок \((4; 10).\) Відповідь: \(4\cdot 10=40.\)

Відповідь: Г.