Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формул площі поверхні паралелепіпеда, вміння розв'язувати текстові задачі.

Площа бічної поверхні

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H=P_{ABCD}\cdot CC_1=(5+4)\cdot 2\cdot 2{,}5=45\ \text{м}^2. \end{gather*}

Площа стін становить \(0{,}8\) від площі бічної поверхні:

\begin{gather*} S_\text{стін}=45\cdot 0{,}8=36\ \text{м}^2. \end{gather*}

Площі стелі:

\begin{gather*} S_\text{стелі}=4\cdot 5=20\ \text{м}^2. \end{gather*}

Площа, яку треба пофарбувати:

\begin{gather*} S=36+20=56\ \text{м}^2. \end{gather*}

На \(1\) м\(^2\) витрачається \(0{,}25\) кг фарби, отже,

\begin{gather*} 56\cdot 0{,}25=14\ \text{кг} \end{gather*}

потрібно для того, щоб повністю пофарбувати стіни та стелю.

Відповідь: \(14.\)

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння та їх системи.

У відповідь запишемо добуток

\begin{gather*} x_0 \cdot y_0 = 0{,}5 \cdot 0{,}75 = 0{,}375. \end{gather*}

Відповідь: \(0{,}375.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей функції, вміння знаходити область значень функції, вміння знаходити найбільше та найменше значення функції за допомогою похідної.

Оцінимо значення виразу \(\dfrac{1}{3\sin x + 5}.\)

\begin{gather*} -1 \le \sin x \le 1;\\[7pt] -3 \le 3\sin x \le 3;\\[7pt] 2 \le 3\sin x + 5 \le 8;\\[6pt] \frac 18 \le \frac{1}{3\sin x + 5} \le \frac 12. \end{gather*}

Отже, даний вираз набуває значення \(\left[\dfrac 18; \dfrac 12\right].\)

Найбільше значення функції \(0{,}5.\)

Відповідь: \(0{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

1. Другу частину маршруту, довжиною \(36\) км, велосипедист проїхав зі сталою швидкістю \(18\) км/год.

$$ t_2 = \frac{S_2}{V_2} = \frac{36}{18} = 2\ \text{год}. $$

2. Для знаходження середньої швидкості необхідно знайти частку від ділення довжини всього маршруту та всього часу руху.

Весь маршрут склав \(81\) км. Весь час, який витратив велосипедист, становить \(2 + 3 = 5\) год.

Отже,

$$ V_{\text{сер}} = \frac{81}{5} = 16 \dfrac{1}{5} = 16{,}2\ \text{км/год}. $$

Відповідь: 1. \(2.\)
                   2. \(16{,}2.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості ромба до розв’язування планіметричних задач, знання теореми Фалеса.

\(ABCD\) – ромб, \(OK\) – радіус вписаного кола.

1. \(S_{кр}=\pi r^2=2{,}25\pi\ \text{см}^2.\) \(\ r^2=2{,}25;\ \ r=1{,}5\ \text{см}.\)

2.

$$ \left.\begin{array}{l} AE\ \perp\ BC\\ OK\ \perp\ BC \end{array}\right|\rightarrow AE\ ||\ OK. $$

\(AO=OC.\) За теоремою Фалеса \(KC=KE.\) Отже, в \(\Delta AEC\) \(OK\) – середня лінія, $$ OK=\frac{1}{2}AE. $$

\(AE=2\cdot OK=2\cdot 1{,}5=3\) см – висота ромба.
\(S_{p}=BC\cdot AE=BC\cdot 3=10{,}8;\) \(\ BC=3{,}6\) см.

Відповідь: 1. \(1{,}5.\)
                   2. \(3{,}6.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння розкривати дужки або множити число на суму двох чи більше чисел.

Щоб помножити число на суму двох чисел, потрібно це число помножити на кожен із доданків, і результати додати. Розкриваємо дужки:

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Теорема про суму кутів трикутника.

Це завдання перевіряє вміння користуватися теоремою про суму кутів трикутника.

Сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ\), тобто $$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ. $$ Трикутник \(ABC\) рівнобедрений, тому кути при основі \(AC\) трикутника рівні:

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівність з однією змінною.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності.

Розділимо обидві частини нерівності на \(0{,}2\): \begin{gather*} 0{,}2x \lt 54,\\[6pt] x\lt \frac{54}{0{,}2},\\[6pt] x\lt 270. \end{gather*}

Або: \begin{gather*} 5 \cdot 0{,}2x \lt 5 \cdot 54,\\[7pt] x \lt 5 \cdot 54,\\[6pt] x\lt 270. \end{gather*} Запишемо у вигляді інтервалу: \(x \in (-\infty; 270).\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати належність точки графіку функції.

Точка належить графіку функції, якщо цей графік проходить через точку. З рисунка видно, що серед запропонованих точок лише точка \((-3; 1)\) належить графіку заданої функції.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відношення між двома числами.

Нехай Петро зібрав \(x\) яблук, тоді Сергій зібрав \(5x\) яблук. Оскільки разом хлопці зібрали \(x + 5x = 6x\) яблук, то $$ \frac{x}{6x} = \frac{1}{6} $$ всіх яблук зібрав Петро.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Ознаки паралельності прямої та площини.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати паралельність прямої та площини.

Пряма паралельна площині, якщо не має з нею спільних точок. Кожна з прямих \(BC\), \(BD\), i \(A_{1}B\) проходить через точку \(B\), пряма \(CB_{1}\) проходить через точку \(B_{1}\), що належать площині \((AA_{1}B_{1})\). Оскільки ці точки належать площині \((AA_{1}B_{1})\), то вказані прямі перетинають задану площину. Пряма \(C_{1}D\) лежить у площині \((C_{1}CD)\). Оскільки площина \((C_{1}CD)\) паралельна площині \((AA_{1}B_{1})\), то пряма \(C_{1}D\) паралельна площині \((AA_{1}B_{1})\).

Відповідь: В.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Представимо числа \(4\) і \(8\) як степені з основою \(2\): \begin{gather*} 4 = 2^{2},\\[7pt] 8 = 2^{3}. \end{gather*} Тоді \((2^{2})^{x} = 2^{3}\). За властивістю степенів \((2^{2})^{x} = 2^{2x}\), звідки \begin{gather*} 2^{2x} = 2^{3},\\[7pt] 2x = 3,\\[6pt] x = \frac{3}{2}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє знання означення косинуса гострого кута прямокутного трикутника.

Косинус гострого кута \(\alpha\) прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого до цього кута катета до гіпотенузи. Отже, $$ \cos \alpha = \frac{b}{c}. $$

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події. Класичне означення ймовірності події.

Це завдання перевіряє вміння знаходити ймовірність події.

Імовірність того, що навмання вибраний білет буде виграшним, за класичним означенням ймовірності дорівнює відношенню кількості виграшних білетів \(x\) до загальної кількості білетів \(300.\) За умовою, $$ \frac{x}{300} = 0{,}2, $$ отже розв’язавши рівняння, отримаємо $$ x = 300 \cdot 0{,}2 = 60, $$ тому виграшних білетів \(60.\) Кількість всіх лотерейних білетів без виграшу дорівнює $$ 300 - 60 = 240. $$

Відповідь: Д.