Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 565

Математика. Всі запитання починаючи з 565

566567568569570571572573574575576577578579580 ▶

Завдання 566 з 2177

У рівнобічній трапеції $ABCD$ $(AB=CD)$ на більшій основі $AD$ вибрано точку $O$ так, що $AO=OD$, $\angle AOB=45^\circ.$ $AD:BC=5:2$, $AD=b.$ Знайдіть площу цієї трапеції.

А$\frac{7b^2}{25}$

Б$\frac{7b^2\sqrt{2}}{50}$

В$\frac{21b^2}{100}$

Г$\frac{7b^2}{50}$

Д$\frac{7b^2}{45}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

Нехай $x$ – коефіцієнт пропорційності.

$BC=2x$, $AD=5x=b$, $x=\frac b5.$

Побудуймо висоти $BH$ i $CK.$ $HBCK$ – прямокутник, тому

\begin{gather*} BC=HK=2x,\\[7pt] AH=KD=(5x-2x):2=1\mathord{,}5x. \end{gather*}

Точка $O$ – середина $AD$, а тому $HO=OK=x.$

У $\Delta BHO\ (\angle H=90^\circ)$, $O=45^\circ.$ Отже, $\Delta BHO$ – рівнобедрений. $HO=BH=x.$

Площу трапеції визначмо за формулою: $$ S=\frac{a+b}{2}\cdot h, $$ де $a$, $b$ – основи, $h$ – висота

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{2x+5x}{2}\cdot x=\frac 72 x^2. \end{gather*}

Якщо $$ x=\frac b5, $$ то

$$ S=\frac 72\cdot \left(\frac b5\right)^2=\frac{7b^2}{2\cdot 25}=\frac{7b^2}{50}. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35332

Завдання 567 з 2177

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\log_5x+1=\log_512.$

А$[0; 2)$

Б$[2; 4)$

В$[4; 6)$

Г$[6; 8)$

Д$[8; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \log_5x+1=\log_5 12,\\[7pt] \log_5x=\log_5 12-1,\\[7pt] \log_5x=\log_5 12-\log_5 5,\\[6pt] \log_5x=\log_5\left(\frac{12}{5}\right). \end{gather*}

Застосуймо властивості алгоритмів:

\begin{gather*} \log_a=1,\\[6pt] \log_ab-\log_ac=\log_a\left(\frac{b}{c}\right). \end{gather*}

Зведімо обидві сторони рівняння до логарифмів з однаковою основою:

\begin{gather*} x=\frac{12}{5},\\[6pt] x=2\frac 25\in [2; 4). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35331

Завдання 568 з 2177

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

II. Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівну площу.

III. Якщо прямокутники мають рівні діагоналі, то вони мають рівні сторони.

Алише I

Блише II

Влише III

Глише I та IIІ

Длише ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, зокрема прямокутника.

I. Периметром паралелограма називають суму довжин всіх його сторін. $$ P=2(a+b). $$ Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

Отже, твердження правильне.

II. Площу паралелограма визначають за формулою: $$ S=ab\cdot \sin \mathbf{\alpha}. $$ Отже, якщо паралелограми мають рівні сторони, але різні кути між ними, то й площі будуть різні. Тому, твердження про рівність площ паралелограмів із однаковими сторонами в разі різних кутів між ними неправильне.

III. Рівні діагоналі прямокутника не означають рівності сторін. Тільки за умови, що протилежні сторони також рівні, інші сторони прямокутників також будуть рівними між собою.

Отже, твердження неправильне.

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35330

Завдання 569 з 2177

Розв’яжіть нерівність $$ \left(\frac 14\right)^{2x-6}\gt\frac{1}{16}. $$

А$(-\infty; 2)$

Б$(4; +\infty)$

В$(-\infty; -2)$

Г$(-2; +\infty)$

Д$(-\infty; 4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

\begin{gather*} \left(\frac 14\right)^{2x-6}\gt\frac{1}{16},\\[6pt] \left(\frac 14\right)^{2x-6}\gt\left(\frac{1}{4}\right)^2. \end{gather*}

Функція $y=\left(\frac 14\right)^x$ – спадна, тому більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу:

\begin{gather*} a^{f(x)}\gt a^{g(x)},\\[7pt] 0\lt a\lt 1\Leftrightarrow f(x)\lt g(x),\\[7pt] 2x-6\lt 2,\\[7pt] 2x\lt 2+6,\\[7pt] 2x\lt 8,\\[7pt] x\lt 4. \end{gather*}

$$ x\in (-\infty; 4). $$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35329

Завдання 570 з 2177

Визначте модуль (довжину) вектора $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ якщо $\ \overrightarrow{a}(2; 1; -5)\ \text{i}\ \overrightarrow{b}(-7; 0; 3).$

А$\sqrt{86}$

Б$\sqrt{146}$

В$\sqrt{90}$

Г$\sqrt{30}$

Д$20$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння додавати і віднімати вектори, визначати модуль вектора.

Визначмо різницю векторів за формулами:

\begin{gather*} \overrightarrow{a}(x_1; y_1; z_1),\\[7pt] \overrightarrow{b}(x_2; y_2; z_2),\\[7pt] \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{x_1-x_2; y_1-y_2; z_1-z_2}),\\[7pt] \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{2-(-7); 1-0; -5-3})=(\overrightarrow{9; 1; -8}). \end{gather*}

Визначимо модуль вектора $\overrightarrow{c}$ за формулою:

\begin{gather*} \overrightarrow{c}(x, y, z),\ |\overrightarrow{c}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\[7pt] |\overrightarrow{c}|=\sqrt{9^2+1^2+(-8)^2}=\sqrt{81+1+64}=\sqrt{146}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35328

Завдання 571 з 2177

Спростіть вираз $a-(12a+5a).$

А$a-17a^2$

Б$-17a$

В$-6a$

Г$-18a$

Д$-16a$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

$$ a-(12a+5a)=a-17a=1a-17a=-16a. $$

$12a$ i $5a$ – подібні доданки. Щоб звести подібні доданки, треба додати їхні коефіцієнти й результат помножити на буквену частину.

Аналогічно спрощують $(1a-17a).$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35327

Завдання 572 з 2177

Графік функції $y=3^x$ паралельно перенесли на $2$ одиниці вниз уздовж осі $y.$ Укажіть функцію, графік якої отримали в результаті цього перетворення.

А$y=3^x-2$

Б$y=\frac{3^x}{2}$

В$y=3^x+2$

Г$y=3^{x+2}$

Д$y=3^{x-2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникова функція.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості перетворення графіків функцій, знання властивостей показникової функції.

Графік функції $y=3^x$ перенесли на $2$ одиниці вниз уздовж осі $y.$

За властивістю елементарних перетворень переміщення вздовж осі $y$ $$ f(x)\rightarrow f(x)+A, $$ де $A$ – кількість одиниць, на які переміщують графік. Якщо $A\gt 0$, то графік переміщують угору, а якщо $A\lt 0$ – униз.

Запис $y=3^x \rightarrow y=3^x-2$ означає, що графік функції перемістили вниз на $2$ одиниці, бо $A=-2.$

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35326

Завдання 573 з 2177

На рисунку зображено дві прямі, що перетинаються.

Визначте градусну міру кута $\mathbf{\alpha}$, якщо $\mathbf{\beta}+\mathbf{\varphi}=70^\circ.$

А$145^\circ$

Б$135^\circ$

В$125^\circ$

Г$110^\circ$

Д$290^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей суміжних і вертикальних кутів.

Кути $\mathbf{\beta}$ i $\mathbf{\varphi}$ – вертикальні. За їхньою властивістю $\mathbf{\beta}=\mathbf{\varphi}.$

За умовою $\mathbf{\beta}+\mathbf{\varphi}=70^\circ$, тому $$ \mathbf{\beta}=\mathbf{\varphi}=70^\circ:2=35^\circ. $$

Кути $\mathbf{\alpha}$ i $\mathbf{\beta}$ – суміжні. За властивістю суміжних кутів:

\begin{gather*} \mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}=180^\circ,\\[7pt] \mathbf{\alpha}=180^\circ - \mathbf{\beta}=180^\circ-35^\circ=145^\circ. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35325

Завдання 574 з 2177

Ціна акції компанії зросла на $10\ \text{%}$ від її початкової ціни. Якою була початкова ціна (у грн) цієї акції, якщо її ціна тепер становить $990$ грн?

А$900$

Б$1089$

В$891$

Г$1000$

Д$980$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати основні задачі на відсотки, уміння визначати число за розміром його відсотка.

Ціна акції зросла на $10\ \text{%}$ від початкової ціни.

Ціна тепер становить $990$ грн і це $110\ \text{%}$ від початкової ціни.

Визначмо $x$ – початкову ціну акцій, яка становить $100\ \text{%}.$ Складімо пропорцію:

\begin{gather*} x\ \textit{грн} - 100\ \ \text{%},\\[7pt] 990\ \textit{грн} - 110\ \ \text{%},\\[6pt] x=\frac{990\ \textit{грн}\cdot 100\ \text{%}}{110\ \text{%}}=900\ \textit{грн}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35324

Завдання 575 з 2177

На рисунку зображено трикутну піраміду $SABC$, $SO$ – висота піраміди. Укажіть пару прямих, що лежать в одній площині.

А$SB$ i $AC$

Б$SO$ i $AC$

В$SA$ i $BC$

Г$SO$ i $BC$

Д$SO$ i $SB$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Застосуймо аксіому стереометрії: якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести лише одну площину.

Отже, прямі $SO$ i $SB$ лежать в одній площині, бо мають спільну точку $S.$

За аксіомою стереометрії якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж, тільки одну.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35323

Завдання 576 з 2177

$|2\sqrt{2}-3|=$

А$3-2\sqrt{2}$

Б$2\sqrt{2}-3$

В$2\sqrt{2}+3$

Г$-2\sqrt{2}-3$

Д$\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, знання властивостей модуля числа.

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0,\\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] 2\sqrt{2}\lt 3,\ \text{бо}\ \sqrt{2}\approx 1\mathord{,}41\\[7pt] 2\cdot 1\mathord{,}41 \lt 2\cdot 1\mathord{,}5. \end{gather*}

Отже, $|2\sqrt{2}-3|=-(2\sqrt{2}-3)=3-2\sqrt{2}.$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35321

Завдання 577 з 2177

До навчального року Марко купив $4$ набори з $2$ ручок у кожному й $3$ набори по $5$ ручок у кожному. Кожен набір із $2$ ручок коштує $25$ грн, а кожен набір із $5$ ручок – $40$ грн. Скільки Марко заплатив за покупку?

А$800$ грн

Б$235$ грн

В$220$ грн

Г$65$ грн

Д$250$ грн

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Марко купив $4$ набори з $2$ ручок по $25$ грн кожний і $3$ набори з $5$ ручок по $40$ грн кожний.

За покупку Марко заплатив:

$$ 4\cdot 25+3\cdot 40=100+120=220\ \textit{грн}. $$

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35320

Завдання 578 з 2177

Знайдіть найменше ціле значення $a$, за якого коло $(x-11-3a)^2+(y+2)^2=49$ двічі перетинає вісь ординат.

Впишіть відповідь:

-5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори на площині.

Завдання скеровано на перевірку знання рівняння кола, властивостей прямокутної системи координат на площині, уміння застосовувати координати для розв’язання планіметричних задач.

За умовою:

\begin{gather*} (x-11-3a)^2+(y+2)^2=49,\\[7pt] (x-(11+3a))^2+(y-(-2))^2=7^2. \end{gather*}

Рівняння кола: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.$

Дано коло із центром у точці $(11+3a; -2)$ i радіусом $7.$

Унаслідок зміни параметра $a$ коло переміщується вздовж прямої $y=-2.$

Для того, щоб коло дотикалося до осі $Oy$, центр кола повинен бути в точці $(7; -2)$ або $(-7; -2).$

Щоб коло перетинало двічі вісь ординат, абсциса $a$ центра кола повинна бути цілим числом – розв'язком нерівності:

\begin{gather*} -7\lt 11+3a\lt 7,\\[7pt] -7-11\lt 3a\lt 7-11,\\[7pt] -18\lt 3a\lt -4,\\[6pt] -6\lt a\lt -1\frac 13. \end{gather*}

Найменше ціле значення $a=-5.$

Відповідь: $-5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35319

Завдання 579 з 2177

Задано сферу з площею поверхні $64\mathbf{\pi}$ см$^2$ і правильну трикутну призму. Радіус кола, уписаного в основу призми, дорівнює радіусу сфери, а висота призми дорівнює стороні її основи. Визначте об’єм (у см$^3$) призми.

Впишіть відповідь:

1152

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання основних видів многогранників, зокрема призми, властивості сфери, уміння застосовувати формули для обчислення площі поверхні сфери й об’єму призми.

$S=64\mathbf{\pi}$ см$^2$, $AA_1=AC$, $OK=O_1D.$

Площа поверхні сфери $S=4\mathbf{\pi}R^2=64\mathbf{\pi}$, $R^2=16\ \textit{см}^2,$ $R=4$ см.

За умовою задачі радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми. Отже, $OK=O_1D=4$ см.

Призма – правильна, отже $\Delta ABC$ – рівносторонній, a $$ r=O_1D=\frac{a}{2\sqrt{3}}, $$ де $a$ – сторона трикутника. Тобто \begin{gather*} 4=\frac{AC}{2\sqrt{3}},\\[6pt] AC=8\sqrt{3}\ \textit{см}. \end{gather*}

Площу правильного трикутника обчислiмо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(8\cdot \sqrt{3}\ \textit{см})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\ \textit{см}^2\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{4}=48\sqrt{3}\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Об'єм призми

\begin{gather*} S_\text{осн}=48\sqrt{3}\ \textit{см}^2,\\[6pt] H=AC=8\sqrt{3}\ \textit{см},\\[6pt] V=48\sqrt{3}\ \textit{см}^2\cdot 8\sqrt{3}\ \textit{см}=1152\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $1152.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35318

Завдання 580 з 2177

У групі з $20$ учнів $11$ класу провели опитування, щоб з’ясувати, скільки приблизно годин вони витрачають на підготовку до контрольної роботи. Відповіді учнів відображено на діаграмі. Визначте ймовірність того, що навмання обраний учень з цієї групи витратив на підготовку до контрольної роботи не менше двох годин.

Впишіть відповідь:

0.65

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

На діаграмі відображено відповіді учнів про те скільки вони витрачають годин на підготовку до контрольної роботи.

Не менш як дві години витратили:
$2$ години – $5$ учнів;
$2\mathord{,}5$ години – $4$ учні;
$3$ години – $2$ учні;
$3\mathord{,}5$ та $4$ години – по $1$ учню.

Всього таких учнів – $13.$

Імовірність події $A$ того, що навмання вибраний учень із цієї групи витратив не менш як дві години, визначмо за формулою: $$ P(A)=\frac kn, $$ де $k$ – кількість сприятливих подій $(k=13)$, а $n$ – кількість усіх рівноможливих подій $(n=20).$

Отже, $$ P(A)=\frac{13}{20}=0\mathord{,}65. $$

Відповідь: $0\mathord{,}65.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35317