Пояснення

ТЕМА: Функції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну елементарних функцій, знаходити суми двох функцій.

\begin{gather*} f(x)=x(x^3+1),\\[7pt] f(x)=x^4+x. \end{gather*}

Знайдемо похідну за правилом знаходження похідної суми двох функцій та похідної степеневої функції: $$ f'(x)=4x^3+1. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності, що містять показникові вирази, застосовувати загальні методи та прийоми (застосування властивостей функцій) у процесі розв'язування нерівності.

Винесемо спільний множник \(2^x\) за дужки:

\begin{gather*} 2^x(1+2^3)\ge 144,\\[7pt] 2^x(1+8)\ge 144,\\[7pt] 2^x\cdot 9\ge 144,\\[7pt] 2^x\ge 144:9,\\[7pt] 2^x\ge 16,\\[7pt] 2^x\ge 2^4. \end{gather*}

Функція \(y=2^x\) зростаюча, тому \(x\ge 4\), \(x\in [4; +\infty).\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Функції. Функціональна залежність. Тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості тригонометричних функцій, заданих графіком.

Задана функція з періодом \(T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\), тому \(f(x+T)=f(x).\)

Область значень функції \(E|y|=[-1; 1]\), тому точки з ординатами \(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\), \(5\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) не належать графіку.

Нулі функції \(-\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}k\), \(k\in Z\), тому \((3\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}; 0)\) та \((5\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}; 0)\) не належать графіку.

Значення \(y=-1\) функція набуває при \(x=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}+2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}k\), \(k\in Z.\)

Отже, відповідь \((5\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}; -1).\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифма.

Використаємо властивості логарифму

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь, встановлювати за розгорткою поверхні вид геометричного тіла.

На рисунку зображена розгортка правильної призми, тому основа – правильний трикутник. \(P_\text{осн}=12\) см, тому сторона основи \(4\) см.

Бічне ребро позначимо через \(H.\) Периметр розгортки складається з

\begin{gather*} 6\cdot H+4\cdot 4=52,\\[7pt] 6H=36,\\[7pt] H=6\ \textit{см}. \end{gather*}

За формулою $$ S_\text{біч.пов.}=P_\text{осн}\cdot H $$ знаходимо $$ S_\text{біч.пов.}=12\cdot 6 =72\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, квадратні рівняння та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь першого та другого степеня, застосовувати загальні методи та прийоми в процесі розв'язування систем рівнянь.

З першого рівняння добуток \(xy=-12.\)

Отримаємо:

\begin{gather*} 2\cdot(-12)-x=-18,\\[7pt] -24-x=-18,\\[7pt] x=-24+18,\\[7pt] x=-6. \end{gather*}

Якщо \((x_0; y_0)\) – розв'язок системи, то \(x_0=-6.\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} 1-\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\mathrm{ctg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\\[6pt] =1-\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\cdot \frac{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}\cdot \cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\\[6pt] =1-\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Елементи комбінаторики, початки теорії імоверностей та елементи статистики. Вибіркові характеристики.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Знайдемо, який середній час витратив учень на дорогу до школи:

Середній час, який учень витратив на дорогу до дому:

На дорогу до дому учень витратив на \(5\) хв. більше.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники. Суміжні та вертикальні кути, паралельні та перпендикулярні прямі. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралельних прямих, ознаки подібності трикутників до розв'язування планіметричних задач.

Зробимо додаткову побудову і терез точку \(K\) проведемо пряму \(AB\), перпендикулярну до прямих \(a\) i \(b.\)

Розглянемо трикутники \(ADK\) та \(BCK.\) Вони подібні за двома кутами: \(\angle ADK=\angle BCK\) як внутрішні різносторонні при \(a\ ||\ b\) та січною \(CD.\)

\(\angle DAK=\angle KBC=90^\circ\) за побудовою.

У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні, отже $$ \frac{AK}{KB}=\frac{KD}{CK}. $$

Відстань від точки \(K\) до прямої \(a\) – це довжина перпенидкуляра \(KA=1\) см \begin{gather*} \frac{1}{KB}=\frac 25,\\[6pt] KB=2\mathord{,}5\ \textit{см}. \end{gather*}

Відстань між прямими \(a\) i \(b\) – це довжина спільного перпендикуляра

\(AB=AK+KB=1+2\mathord{,}5=3\mathord{,}5\) см.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Розкриваємо дужки, зводимо подібні доданки.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Взаємне розміщення прямих у просторі.

Це завдання перевіряє знання означення паралельних прямих.

У просторі задано паралельні прямі \(m\) i \(n.\) За означенням паралельних прямих вони лежать в одній площині та не перетинаються. Тому правильне твердження I, але неправильне ІІІ.

Через дві прямі в площині можна провести пряму, що перетинає обидві прямі \(m\) i \(n.\) Правильне твердження ІІ.

Отже, правильні твердження І та ІІ.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення функції.

$$ y=\frac{x+1}{x-2}. $$

Область визначення функції – усі дійсні числа, крім \(x=2\) (при даному значенні вираз \(\frac{x+1}{x-2}\) не має змісту).

\(x\in (-\infty; 2)\cup (2; +\infty).\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування ірраціональних рівнянь, уміння розв'язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} 4\sqrt{x}=1,\\[6pt] \sqrt{x}=\frac 14. \end{gather*}

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата й знаходимо \(x.\)

\begin{gather*} (\sqrt{x})^2=\left(\frac 14\right)^2,\\[6pt] x=\frac{1}{16}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'єму геометричних тіл.

Об'єм кулі знаходиться за формулою $$ V=\frac 43\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^3. $$ У завданні необхідо знайти об'єм півкулі, тому

$$ V=\left(\frac 43\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^3\right):2=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^3}{3}. $$

Відповідь: Б.