Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє знання відношень, пропорцій, основної властивості пропорції; уміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Лідія редагує \(80\) сторінок рукопису у \(8\) разів швидше, ніж Максим \(480\) сторінок. Отже, Лідія редагує \(80\cdot 8=640\) сторінок за той самий час, за який Максим редагує \(480\) сторінок.

\(320\) сторінок (у \(2\) рази менше) Лідія відредагує за той самий час, що й Максим \(240\) сторінок.

Відповідь: \(240.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії, уміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію.

Нехай \(a_3=2a_1.\) За характеристичною властивістю арифметичної прогресії: \begin{gather*} a_2=\frac{a_1+a_3}{2}, \end{gather*} тому $$ a_2=\frac{3a_1}{2}=1\mathord{,}5a_1. $$

Різниця арифметичної прогресії \(d=a_2-a_1=1\mathord{,}5a_1-a_1=0\mathord{,}5a_1.\)

За формулою суми \(n\text{-перших}\) членів арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n,\\[6pt] S_5=\frac{2a_1+0\mathord{,}5a_1\cdot 4}{2}\cdot 5=\\[6pt] =\frac{2a_1+2a_1}{2}\cdot 5=10a_1. \end{gather*}

За умовою, \(S=190\), тому \(10a_1=190\), \(a_1=19.\)

\(d=0\mathord{,}5a_1=0\mathord{,}5\cdot 19=9\mathord{,}5.\)

Відповідь: \(9\mathord{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання дотичної до кола та її властивості, формули довжини кола; уміння застосовувати ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1.Довжина кола знаходиться за формулою \(C=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R.\)

\(O_1O_2=2R=8.\)

2. У прямокутник \(ABCD\) вписано два кола, тому \(BC=4R=16.\)

\(OO_1=2R=8.\)

\(O_1K\ \perp\ BC\) (за властивістю дотичної)

\(O_1K=4.\)

\(O_2L\ \perp\ BC\) \(O_1K=O_2L=R\), тому \(O_1O_2\ ||\ BC\), отже \(BO_1O_2C\) – трапеція.

Відповідь: 1. \(8.\)
                   2. \(48.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки. Основні задачі на відсоки. Текстові задачі. Квадратні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, розв'язувати задачі на відсотки.

1. Нехай у кожному ряду висадили \(x\) кущів, тоді кількість рядів буде \((x-20).\) Усього висадили \(125\) кущів троянд. Складемо рівняння:

Отже, в кожному ряду \(25\) кущів.

2. Усього кущів у першому рядку \(25.\) Ушкоджених кущів виявилось \(16\text{%}\), отже, неушкоджених кущів \(84\text{%}\) від кількості кущів у першому рядку.

$$ 25\cdot \frac{84}{100}=21. $$

Відповідь: 1. \(25.\)
                   2. \(21.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання формул для обчислення площ поверхонь конуса та циліндра.

Нехай \(R=OA=3\) см, \(OO_1=H=4\) см.

1. \(S_\text{б.п.}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RH\), де \(R=3\) – радіус основи, \(H=4\) см. – висота циліндра.

\(S_\text{б.п.}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 3\cdot 4=24\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^2\).

Отже, 1 – Г.

Отже, 2 – Д.

3. Площа основи конуса дорівнює площі основи циліндра.

Отже, \(S_\text{осн.}=9\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^2\).

Отже, 3 – A.

4. Площа бічної поверхні конуса \(S_\text{б.п.}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}Rl\), де \(R=3\) см, \(l\) – твірна \(O_1A.\)

\(S_\text{б.п.}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 3\cdot 5=15\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^2\).

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – А, 4 – В.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, теореми косинусів; уміння застосовувати властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

Отже, 1 – В.

2. Більша діагональ ромба лежить напроти більшого кута ромба.

\(\angle D=\angle K=60^\circ\), звідси \(\angle C=\angle M=120^\circ.\) Більша діагональ – \(KD.\)

У \(\Delta DCK\) за теоремою косинусів

Отже, 2 – Г.

3.Відстань від точки \(M\) до сторони \(CD\) – це довжина перпендикуляра

\(ME\ \perp\ DC\) – висота ромба.

У \(\Delta MED\ \angle E=90^\circ\), \(\angle D=60^\circ.\)

Отже, 3 – Б.

4. \(KP\ \perp\ AD.\) Відстань від точки \(K\) до прямої \(AD\) – це відрізок \(KP.\)

\(CD\ \perp\ AD\), \(KM\ ||\ CD\), тому \(KM\ \perp\ AD\), \(KP\ \perp\ AD.\)

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє знання означення та властивості кореня n-го степеня, степеня з натуральним показником, основної логарифмічної тотожності.

1. $$ (3a^3)^2=3^2\cdot (a^3)^2=9a^6. $$ Отже, 1 – A.

2. $$ \sqrt[3]{27a^6}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{a^6}=3a^2. $$ Отже, 2 – Д.

3. $$ \frac{27a^6}{9a^3}=3a^3. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – Г, 4 – Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра, початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності першого степеня, нерівності, що містять змінну під знаком модуля.

\(|x+4|(x-1)\lt 0.\)

Цю нерівність можна розв'язати двома способами:

І спосіб.

Вираз \(|x+4|\ge 0\) при будь-яких значеннях змінної, тому розв'язком нерівності є розв'язок системи:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\ne -4,\\ x-1\lt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\ne -4,\\ x\lt 1. \end{array}\right.\\[7pt] x\in (-\infty; -4)\cup (-4; 1). \end{gather*}

ІІ спосіб.

Розв'язуємо методом інтервалів:

\(|x+4|(x-1)\lt 0\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивості дотичної до кола, вміння застосовувати набуті знання до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Проведемо \(K_1E\ ||\ AB\) дотичну до кола.

За властивістю дотичної до кола \(KK_1\ \perp\ K_1E.\)

\(\angle CPK=\angle PKP_1=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) як внутрішні різносторонні при \(KK_1\ ||\ CE\) та січної \(KP.\)

У \(\Delta KP_1P\ (\angle P_1=90^\circ)\), \(KP=0\mathord{,}9\) м, \(\angle K=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)

Серед наведених відстаней найменша \(0\mathord{,}7\) м.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Фунції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій; похідну суми; знання таблиці похідних елементарних функцій.

\begin{gather*} y=-\frac 76x^6+5x^4-14,\\[6pt] y'=-\frac 76\cdot 6x^5+5\cdot 4x^3,\\[6pt] y'=-7x^5+20x^3. \end{gather*}

Використали формулу \(y=x^n\), \(y=nx^{n-1}\) та правило знаходження похідної суми.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії над ними.

Це завдання перевіряє вміння розрізняти види чисел та числових проміжків, виконувати дії з дійсними числами.

Це число належить проміжку \([0; 0\mathord{,}5).\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многограники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл, знання формул для обчислення площ трикутників.

Дана трикутна призма \(ABCA_1B_1C_1\).

Усі бічні грані – квадрати, тому основа призми – рівносторонній трикутник. Площу рівностороннього трикутника можна знайти за формулою $$ S_{\Delta}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де \(a\) – сторона трикутника.

За умовою $$ S_{\Delta}=9\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$ Звідси, \(a^2\sqrt{3}=36\sqrt{3}\), \(a^2=36\), \(a=6\) см.

\(AA_1C_1C\) – квадрат, тому \(AA_1=6\) см.

Об'єм призми

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Функції. Функціональа залежність. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, досліджувати на парність (непарність).

Для наведених функцій область визначення не є симетричною у функції \(f(x)=\log_3x\), тому вона ні парна, ні неперна.

Серед інших умова \(f(-x)=-f(x)\) є ознакою непарності. Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Така властивість є у функції \(f(x)=\frac 2x.\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів та знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінних.

Якщо \(2^{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}\), то

Відповідь: Г.