ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійної та логарифмічної функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(f(x)=3-\frac x4\)

2. \(g(x)=\log_2x\)

3. Точка перетину графіків \(A(4; 2).\)

4. Розв'язок нерівності \(f(x)\ge g(x)\) знаходимо за рисунком.

Тобто знаходимо такі значення \(x\), при яких графік функції \(f(x)\) лежить вище графіка \(g(x).\) Це проміжок \(x\in (0; 4].\)

Відповідь: 3. \((4; 2).\)
                   4. \(x\in (0; 4].\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, складати рівняння кола, застосовувати властивості прямокутного трикутника, використовувати формули площі трикутника.

Коло задане рівнянням \((x-3)^2+y^2+2y=16.\)

Запишемо у стандартному вигляді
\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), де \((a; b)\) – центр кола, \(R\) – радіус
\((x-3)^2+y^2+2y+1=16+1\)
\((x-3)^2+(y+1)^2=17.\)
\((3; -1)\) – центр кола, \(R=\sqrt{17}.\)

Точка \(A(2; -5)\), \(B(4; 3).\) Центр кола \(O(3; -1)\) є серединою відрізка \(AB\) $$ x=\frac{2+4}{2}=3;\ \ y=\frac{-5+3}{2}=-1. $$

Отже, \(\Delta ABC\) – рівнобедрений прямокутний з гіпотенузою \(AB=2\sqrt{17}.\)

Висота, проведена до гіпотенузи, – медіана та радіус описаного кола.

Отже, \(S_{ABC}=\frac 12 AB\cdot OC\), \(OC=R=\sqrt{17}.\)

\(S_{ABC}=\frac 12\cdot 2\sqrt{17}\cdot \sqrt{17}=17.\)

Відповідь: \(17.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.

Оскільки спочатку інформацію промовляють українською, то таких варіантів – один.

Далі \(4\) елементи: англійська, німецька, російська, польська переставляються. Отже, за формулою $$ P_n=n! $$ знаходимо $$ P_4=4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24. $$

За правилом добутку знаходимо загальнку кількість можливих варіантів: $$ 1\cdot 24=24. $$

Відповідь: \(24.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь конуса.

Площа основи конуса – \(S_\text{основи}=\mathbf{\pi}R^2=100\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(R^2=100\), \(R=10\) см. \(OB=10\) см.

Об'єм конуса знаходимо за формулою:

\(V=\frac 13S_\text{основи}H,\) де \(S_\text{основи}=100\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(H=AO.\)

\(\frac 13\cdot 100\mathbf{\pi}\cdot H=800\mathbf{\pi}\), \(H=24\) см.

У \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\(AB=26\) см – твірна конуса.

Відповідь: \(26.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, застосовувати системи рівнянь до розв’язування текстових задач.

Нехай тривалість одного рекламного ролика \(x\) хв., а одного трейлера – \(y\) хв. Тоді,

Трейлер триває \(2\mathord{,}5\) хв \(=150\) с.

Відповідь: \(150.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Знаходимо середнє арифметичне за формулою:

Відповідь: \(15.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію.

1. Використовуємо формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\) та властивість \(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\) \begin{gather*} b_2\cdot b_4=36,\\[7pt] b_1q\cdot b_1q^3=36,\\[7pt] b_1^2q^4=36,\\[7pt] (b_1q^2)^2=36,\ \ b_3^2=36. \end{gather*} Оскільки всі члени прогресії додатні, то \(b_3=6.\)

2. \begin{gather*} b_1=2b_2,\ \ b_2=b_1\cdot \frac 12\rightarrow q=\frac 12,\\[6pt] b_3=b_1\cdot q^2,\ \ 6=b_1\cdot \frac 14,\ \ b_1=24. \end{gather*}

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(24.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралелограма до розв'язування планіметричних задач.

2. За формулою \(S=ah\), де \(a\) – сторона паралелограма, \(h\) – висота, проведена до сторони \(a\), знаходимо площу

Відповідь: 1. \(20.\)
                   2. \(480.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

1. Нехай вартість оренди одного велосипеда для дитини \(x\) грн, тоді вартість оренди одного велосипеда для дорослого \(1\mathord{,}5x\) грн. Отже, \begin{gather*} 2\cdot 1\mathord{,}5x+x=1200,\\[7pt] 3x+x=1200,\\[7pt] 4x=1200,\\[7pt] x=300. \end{gather*}

2. Вартість оренди одного шолома та однієї пари рукавичок \(15\text{%}\) від \(300\) грн.
Тобто, \(300\cdot 0\mathord{,}15=45\) грн.

Вартість оренди трьох шоломів та трьох пар рукавичок дорівнює
\(3\cdot 45=135\) грн.

Відповідь: 1. \(300.\)
                   2. \(135.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості паралельних прямих і площин.

1. Точка \(C_1\) симетрична точці \(A_1\) відносно площини \((BB_1D_1).\) Отже, 1 – Д.

2. \(A_1D_1\in (A_1B_1C_1)\), \(A_1D_1\ ||\ AD\), звідси \(AD\ ||\ (A_1B_1C_1).\) Отже, 2 – B.

3. \((BB_1C_1)\cap (DD_1C_1)=CC_1.\) Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

\(ABCD\) – ромб, \(\angle B=60^\circ\), \(AB=BC=CD=DA=8.\)

1. \(\Delta ABC\) – рівносторонній, \(AC=8.\) Отже, 1 – B.

3. Центр кола, вписаного в ромб – точка перетину діагоналей точка \(O.\)

За властивістю ромба \(AO=OC=\frac 12AC=4.\) Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа, використовувати властивості модуля до розв’язування задач.

З рисунку визначаємо, що \(a\approx 0\mathord{,}8.\)

1. \(-2a\approx -2\cdot 0\mathord{,}8=-1\mathord{,}6.\)
Значенню \(-1\mathord{,}6\) на рисунку відповідає точка \(K.\)
Отже, 1 – Г.

2. \(3^a\approx 3^{0\mathord{,}8}\),
\(3^{0\mathord{,}5}\lt 3^{0\mathord{,}8}\lt 3^1\),
\(\sqrt{3}\lt 3^{0\mathord{,}8}\lt 3\),
\(\sqrt{3}\approx 1\mathord{,}7.\)
Отже, нас цікавить точка яка належить проміжку \((1\mathord{,}7; 3.)\)
На рисунку даному проміжку належить точка \(P.\)
Отже, 2 – B.

3. \(|a-1|\approx |0\mathord{,}8-1|=|-0\mathord{,}2|=0\mathord{,}2.\)
Значенню \(0\mathord{,}2\) на рисунку відповідає точка точка \(M.\)
Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1.

Симетричний відносно осі y. Отже, 1 – A.

2.

3.

Симетричний відносно початку координат. Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.

Завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків, розв'язувати задачі практичного змісту.

У \(\Delta BOC\ (\angle O=90^\circ)\ OB=OC\) як радіуси.
\(BC=6\) м. За теоремою Піфагора

Ширина смуги

Відповідь: Г.