Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур, різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

\(\Delta ABC\) – рівносторонній, тому $$ \angle A=\angle B=\angle C=60^\circ. $$

\(\angle KBM=180^\circ\) – розгорнутий. $$ \angle KBA+\angle ABC+\angle CBM=180^\circ. $$

Отже,

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 5^{x-2}=25,\\[7pt] 5^{x-2}=5^2,\\[7pt] x-2=2,\\[7pt] x=4. \end{gather*}

Отже, корінь рівняння \(x=4.\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Функції. Функціональна залежність. Лінійна функція, її властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік функції перетинає вісь абсцис у точці \(A(4; 0).\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Числа та вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей дій з дійсними числами, уміння округлювати десяткові дроби.

Для того, щоб округлити дріб до десятих, необхідно знати цифру, яка стоїть у розряді сотих.

Якщо ця цифра \(5\) або більше, то цифра, яка стоїть в розряді десятих, збільшується на один.

\(2\mathord{,}66\approx 2\mathord{,}7.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля, розв'язувати ірраціональні та квадратні рівняння, розв'язувати системи рівнянь з параметром.

Знайдемо область допустимих значень: $$ \text{ОДЗ:}\ \left\{\begin{array}{l} 3ax-8x-6y\ge 0,\\ x\ge 0. \end{array}\right. $$

Якщо квадрати двох виразів рівні, то вирази або рівні, або протилежні.

1) Розв'яжемо першу систему:

Розв'яжемо способом підстановки:

\begin{gather*} 3ax-8x-6x=x^2,\\[7pt] x^2+14x-3ax=0,\\[7pt] x(x+14-3a)=0. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x_1=0,\ \ y_1=0,\\ x_2=3a-14,\ \ y_2=3a-14. \end{array}\right. \end{gather*}

Знайдемо, при яких значеннях параметра \(a\) ці пари чисел є розв'язками

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 3a\cdot 0-8\cdot 0-6\cdot 0\ge 0,\\ 0\ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

\(a\) – будь-яке. \((0; 0)\) – розв'язок системи при будь-якому значенні \(a.\)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 3a-14\ge 0,\\ 3a(3a-14)-8(3a-14)-6(3a-14)\ge 0, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\ge 4\frac 23,\\ 9a^2-84a+196\ge 0, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\ge 4\frac 23,\\ (3a-14)^2\ge 0, \end{array}\right.\\[6pt] \text{при}\ a\ge 4\frac23\ (3a-14; 3a-14). \end{gather*}

2) Розв'яжемо другу систему:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2x+a=-2y-a,\\ 3ax-8x-6y=x^2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x+y+a=0,\\ 3ax-8x-6y=x^2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=-x-a,\\ 3ax-8x-6(-x-a)=x^2, \end{array}\right. \end{gather*}

підстановкою знаходимо:

\begin{gather*} x^2+x(2-3a)-6a=0,\\[7pt] D=(2-3a)^2-4\cdot (-6a)=(3a+2)^2\ge 0, \end{gather*}

при будь-якому значенні \(a.\)

\begin{gather*} x_1=\frac{3a-2+3a+2}{2}=3a,\\[7pt] x_2=\frac{3a-2-3a-2}{2}=-2\ \not \in \text{ОДЗ},\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=3a,\\ y=-3a-a=-4a. \end{array}\right. \end{gather*}

Знаходимо, при яких значеннях \(a\)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 3a\ge 0,\\ 9a^2-24a+24a\ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

При \(a\ge 0\) розв'язок \((3a; -4a).\)

Відповідь: при \(a\in (-\infty; 0]\ (0; 0)\);
                   при \(a\in \left(0; 4\frac 23\right]\ (0; 0)\), \((3a; -4a)\);
                   при \(a\in \left(4\frac 23; +\infty\right)\ (0; 0)\), \((3a; -4a)\), \((3a-14; 3a-14).\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити кут між площинами, застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язування задач, уміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл.

1. Площина, що проходить через діагональ \(AC\) та вершину \(B_1\) – це \((AB_1C).\) \((AB_1C)\) та \((ABB_1)\) має спільну пряму \(AB_1\), тому вони перетинаються по прямій \(AB_1\), \((ACB_1)\cap (BB_1C_1)=B_1C.\) Отже, переріз призми січною площиною – \(\Delta AB_1C.\)

2. Проведемо \(BK\ \perp\ AC\) у \((ABC).\)

За теоремою про три перпендикуляри \(B_1K\ \perp\ AC\), звідси \(AC\ \perp\ (BB_1K)\Rightarrow \angle B_1KB\) – лінійний кут відповідного двогранного. Кут між площинами \((AB_1C)\) та \((ABC)=\angle B_1KB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\)

3. У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\), \(AC=a\), \(\angle A=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\), \(AB=a\cos \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\), \(BC=a\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)

4. \(S_\text{осн}=S_{ABCD}=AB\cdot BC=a^2\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \cos \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)

5. У \(\Delta BKA\ (\angle K=90^\circ)\), \(BK=AB\cdot \sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=a\cos \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)

6. У \(\Delta BB_1K\ (\angle B=90^\circ)\), \(\angle B_1KB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), \(BB_1=BK\cdot \mathrm{tg}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=a\cos \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \mathrm{tg}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\)

7.\(V_\text{пр}=S_\text{осн}\cdot H\), де \(S_\text{осн}=S_{ABCD}\), \(H=BB_1.\)

$$ V_\text{пр}=a^2\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \cos \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot a\cos \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \mathrm{tg}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=a^3\sin^2 \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cos^2 \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\ \mathrm{tg}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. $$

Використавши формулу синуса подвійного кута, відповідь можнa записати у вигляді:

$$ V_\text{пр}=\frac 14a^3\sin^2 2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\ \mathrm{tg}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. $$

Відповідь: \(\frac 14a^3\sin^2 2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\ \mathrm{tg}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний зміст. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання. Квадратична функція.

Це завдання перевіряє вміння будувати графік квадратичної функції, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, знаходити похідні елементарних функцій, кутовий коефіцієнт дотичної.

1. Координати точок перетину графіка функції з осями:

\begin{gather*} y=0,\\[7pt] x^2+3x-10=0,\\[6pt] D=9-4\cdot (-10)=49,\\[6pt] x_1=\frac{-3+7}{2}=2,\\[6pt] x_2=\frac{-3-7}{2}=-5. \end{gather*}

\((2; 0)\), \((-5; 0)\) – точки перетину з віссю \(Ox.\)

\begin{gather*} x=0,\\[7pt] y=0^2+3\cdot 0-10=-10. \end{gather*}

\((0; -10)\) – точкa перетину з віссю \(Oy.\)

2. \(f(x)=x^2+3x-10\)

1) \(a=1\) – гілки направлені вгору.

2) вершина параболи:

\begin{gather*} x_\text{в}=\frac{-3}{2}=-1\mathord{,}5\\[7pt] y_\text{в}=(-1\mathord{,}5)^2+3\cdot (-1\mathord{,}5)-10=2\mathord{,}25-4\mathord{,}5-10=-12\mathord{,}25 \end{gather*}

\((-1\mathord{,}5; -12\mathord{,}25)\) – вершина.

3) точки перетину з осями:

\((0; -10); (2; 0); (-5; 0).\)

3. \(f'(x)=2x+3.\)

4. Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці \(x_0=-1\) – це значення похідної функції в даній точці.

\(k=f'(x_0)=f'(-1)=2\cdot (-1)+3=1.\)

Відповідь: 1. \((2; 0)\), \((-5; 0)\), \((0; -10).\)
                   3. \(f'(x)=2x+3.\)
                   4. \(1.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів, знання правил додавання векторів, множення вектора на число.

\begin{gather*} \overrightarrow{a}(-1; 1),\\[7pt] \overrightarrow{b}(-1; 2),\\[7pt] m\overrightarrow{b}(-m; 2m),\\[7pt] \overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}(\overrightarrow{-1-m; 1+2m}). \end{gather*}

Умова перпендикулярності векторів – їх скалярний добуток дорівнює нулю.

\begin{gather*} (-1-m)\cdot (-1)+(1+2m)\cdot 2=0,\\[7pt] 1+m+2+4m=0,\\[7pt] 5m+3=0,\\[7pt] 5m=-3,\\[7pt] m=-3:5=-0\mathord{,}6. \end{gather*}

Відповідь: \(-0\mathord{,}6.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Нехай \(P_1\) – ймовірність того, що спортсмен влучить у мішень, а \(P_2\) – ймовірність того, що не влучить.

За умовою \(P_1=7P_2\) та \(P_1+P_2=1.\)

Розв'яжемо систему рівнянь:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} P_1=7P_2,\\ P_1+P_2=1, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} P_1=7(1-P_1),\\ P_2=1-P_1. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжемо рівняння

\begin{gather*} P_1=7(1-P_1),\\[7pt] P_1=7-7P_1,\\[7pt] 8P_1=7,\\[6pt] P_1=\frac 78=0\mathord{,}875. \end{gather*}

Відповідь: \(0\mathord{,}875.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, знання методів розв'язування раціональних рівнянь.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Човен проходить за течією \(24\) км за \(5\) годин, тому швидкість човна була:

\(24:5=4\mathord{,}8\) км/год.

Проти течії човен проходить \(12\) км за \(3\) години, тому швидкість човна проти течії:

\(12:3=4\) км/год.

Швидкість течії знаходимо таким чином:

\((4\mathord{,}8-4):2=0\mathord{,}8:2=0\mathord{,}4\) км/год.

Відповідь: \(0\mathord{,}4.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Нерівності. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення функції, розв'язувати лінійні нерівності.

Область визначення знаходимо з розв'язку нерівності: \begin{gather*} 50-3x\ge 0,\\[7pt] -3x\ge -50,\\[7pt] 3x\le 50,\\[7pt] x\le 50:3,\\[7pt] x\le 16\frac 23. \end{gather*}

Найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення – це число \(16.\)

Відповідь: \(16.\)

Пояснення

26

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їхні вимірювання. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, формул для обчислення площі кругового сектора, прямокутника.

1. Площу кругового сектора знаходимо за формулою $$ S_\text{сек}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2}{360^\circ}\cdot \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) – центральний кут.

\begin{gather*} S_{BCP}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2}{360^\circ}\cdot 90^\circ=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2}{4}=9\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \textit{см}^2,\\[6pt] R^2=36\ \textit{см}^2,\\[6pt] R=6\ \textit{см}. \end{gather*}

2. Нехай \(a\) – спільна дотична до секторів. За властивістю дотичної до кола \(AO\ \perp\ a\), \(CO\ \perp\ a\), тому точка \(O\) лежить на прямій \(AC.\)

\begin{gather*} AC=AO+OC=4+6=10\ \textit{см}. \end{gather*}

У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, тому \(AB=8\) см.

$$ S_{ABCD}=AB\cdot BC=8\cdot 6=48\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(48.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відношення чисел у вигляді відсотка, відсоток від числа, число за значенням його відсотка.

1. Індійський чай \(180\) г – це складає \(\frac{10}{23}\) від маси суміші.

Отже,

$$ 180:\frac{10}{23}=\frac{180\cdot 23}{10}=414\ \textit{г} $$

маса суміші.

2. Якщо індійський чай складає \(100\text{%}\), то цейлонський – \(130\text{%}\), тому що маса чаїв складається у відношенні \(10 : 13.\) Отже, цейлонського чаю на \(30\text{%}\) більше.

Відповідь: 1. \(414.\)
                   2. \(30.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(\angle ABC=60^\circ\) (кут рівностороннього трикутника). Отже, 1 – В.

 

2. \(\Delta ACD\) – рівнобедренний, тому

$$ \angle A=\angle D=(180^\circ-\angle ACD): 2=(180^\circ-40^\circ):2=70^\circ. $$

 

Отже, 2 – Д.

 

3. \(\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=60^\circ+70^\circ=130^\circ.\)

 

Кутом між прямими, що перетинаються, називають менший із кутів, що утворився при перетині цих прямих. Кут між прямими \(AB\) та \(AD\) – це гострий кут, тому він дорівнює \(180^\circ-130^\circ=50^\circ\) (суміжний з \(\angle BAD\)). Отже, 3 – Б.

 

4. \(\angle BAD=130^\circ.\) \(AK\) – бісектриса \(\angle BAC\), \(AP\) – бісектриса \(\angle CAD.\)

 

\begin{gather*} \angle KAP=\angle KAC+\angle CAP=\frac 12 \angle BAC+\frac 12 \angle CAD=30^\circ+35^\circ=65^\circ. \end{gather*}

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – Б, 4 – Г.