Пояснення

26

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їхні вимірювання. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, формул для обчислення площі кругового сектора, прямокутника.

1. Площу кругового сектора знаходимо за формулою $$ S_\text{сек}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2}{360^\circ}\cdot \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) – центральний кут.

\begin{gather*} S_{BCP}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2}{360^\circ}\cdot 90^\circ=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2}{4}=9\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \textit{см}^2,\\[6pt] R^2=36\ \textit{см}^2,\\[6pt] R=6\ \textit{см}. \end{gather*}

2. Нехай \(a\) – спільна дотична до секторів. За властивістю дотичної до кола \(AO\ \perp\ a\), \(CO\ \perp\ a\), тому точка \(O\) лежить на прямій \(AC.\)

\begin{gather*} AC=AO+OC=4+6=10\ \textit{см}. \end{gather*}

У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, тому \(AB=8\) см.

$$ S_{ABCD}=AB\cdot BC=8\cdot 6=48\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(48.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відношення чисел у вигляді відсотка, відсоток від числа, число за значенням його відсотка.

1. Індійський чай \(180\) г – це складає \(\frac{10}{23}\) від маси суміші.

Отже,

$$ 180:\frac{10}{23}=\frac{180\cdot 23}{10}=414\ \textit{г} $$

маса суміші.

2. Якщо індійський чай складає \(100\text{%}\), то цейлонський – \(130\text{%}\), тому що маса чаїв складається у відношенні \(10 : 13.\) Отже, цейлонського чаю на \(30\text{%}\) більше.

Відповідь: 1. \(414.\)
                   2. \(30.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(\angle ABC=60^\circ\) (кут рівностороннього трикутника). Отже, 1 – В.

 

2. \(\Delta ACD\) – рівнобедренний, тому

$$ \angle A=\angle D=(180^\circ-\angle ACD): 2=(180^\circ-40^\circ):2=70^\circ. $$

 

Отже, 2 – Д.

 

3. \(\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=60^\circ+70^\circ=130^\circ.\)

 

Кутом між прямими, що перетинаються, називають менший із кутів, що утворився при перетині цих прямих. Кут між прямими \(AB\) та \(AD\) – це гострий кут, тому він дорівнює \(180^\circ-130^\circ=50^\circ\) (суміжний з \(\angle BAD\)). Отже, 3 – Б.

 

4. \(\angle BAD=130^\circ.\) \(AK\) – бісектриса \(\angle BAC\), \(AP\) – бісектриса \(\angle CAD.\)

 

\begin{gather*} \angle KAP=\angle KAC+\angle CAP=\frac 12 \angle BAC+\frac 12 \angle CAD=30^\circ+35^\circ=65^\circ. \end{gather*}

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – Б, 4 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів і знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінної.

1. \(\frac 73a=\frac 73\cdot 15=\frac{7\cdot 15}{3}=35\)

ділиться націло на \(5.\) Отже, 1 – Д.

2. \(2a-1=2\cdot 15-1=29\)

є простим числом. Отже, 2 – Б.

3. \(a^2+12a+36=(a+6)^2=(15+6)^2=21^2\)

ділиться націло на \(3.\) Отже, 3 – Г.

4. \(a^2+13^2=15^2+13^2=225+169=394\)

є парним числом. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – Г, 4 – В.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

Використаємо властивість логарифма: $$ \log_a b^n=n\cdot \log_a b, $$

\begin{gather*} \log_2x=\log_23^2,\\[7pt] \log_2x=\log_29. \end{gather*}

Звідси, \(x=9\) корінь рівняння. Проміжок, якому належить корінь рівняння \((8; 10].\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників, знання формули для обчислення площі поверхні.

Дано: правильна трикутна піраміда, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

\(AB=BC=AC=10\) см, \(DA=DB=DC=13\) см. \(DK\ \perp\ BC\) – апофема, \(CK=KB=5\) см.

У \(\Delta DKB\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} DB^2=DK^2+KB^2,\\[7pt] DK=\sqrt{169-25}=12\ \textit{см}. \end{gather*}

$$ S_\text{біч}=p_\text{осн}\cdot l, $$ де \(p_\text{осн}\) – півпериметр основи, \(DK=l\) – апофема.

$$ S_\text{біч}=\frac 12\cdot 30\cdot 12=180\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона-Лейбніцa для обчислення визначеного інтеграла.

$$ \mathop{\int}\limits_{0}^2 f(x)dx=8. $$

За формулою Ньютона-Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{0}^2 f(x)dx=\left.F(x)\right|_0^2=F(2)-F(0)=8. \end{gather*}

Звідси,

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{0}^2 (f(x)+6)dx=\left.F(x)+6x\right|_0^2=\\[6pt] =F(2)+6\cdot 2-F(0)-6\cdot 0=F(2)-F(0)+12=\\[6pt] =8+12=20. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивостей.

За властивістю модуля дійсного числа

\begin{gather*} |a|= \left\{\begin{array}{l} a,\ \text{при}\ a\ge 0,\\ -a,\ \text{при}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Спрощуємо вираз:

\begin{gather*} |a-1|+|-7|=-(a-1)+7=-a+1+7=-a+8,\\[7pt] a-1\lt 0\ \text{при}\ a\lt 1. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, уміння розв'язувати задачі на арифметичні прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=a_1+d(n-1)\) знаходимо кількість від'ємних членів прогресії:

\begin{gather*} a_n=-21+1\mathord{,}5(n-1)\lt 0\\[7pt] -21+1\mathord{,}5n-1\mathord{,}5\lt 0\\[7pt] 1\mathord{,}5n\lt 22\mathord{,}5\\[7pt] n\lt 15. \end{gather*}

Найбільше ціле, яке є розв'язком нерівності \(n=14\), є розв'язком задачі.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів та знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінних.

\(2\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\cos \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\) Поділимо обидві частини рівності на вираз \(\cos \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\ne 0.\)

\begin{gather*} \frac{2\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\cos \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=\frac{\cos \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\cos \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}},\\[6pt] 2\mathrm{tg}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=1,\\[6pt] \mathrm{tg}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\frac 12=0\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей квадрата, уміння застосовувати властивості квадрата до розв'язування планіметричних задач практичного змісту.

Нехай сторона квадрата (підлоги)

\(a=P:4=18:4=4\mathord{,}5\) м.

Сторона квадрата (килима)

\(b=a-0\mathord{,}4=4\mathord{,}5-0\mathord{,}4=4\mathord{,}1\) м.

\(P=4b=4\cdot 4\mathord{,}1=16\mathord{,}4\) м – периметр килима.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей, уміння застосовувати методи та прийоми в процесі розв'язування нерівностей.

\begin{gather*} \frac{2x-4}{x+1}\lt 0,\\[6pt] \frac{2(x-2)}{x+1}\lt 0,\\[6pt] \frac{x-2}{x+1}\lt 0. \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів: $$ (x-2)(x+1)\lt 0. $$

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі і площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості паралельних і перпендикулярних прямих і площин.

I. Твердження хибне, тому що, якщо пряма лежить і в площині \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), і в площині \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\), то ці площини мають спільні точки, а це суперечить умові \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\ ||\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)

II. Твердження є правильним. Пряма, перпендикулярна до площини \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), перпендикулярна й площині \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)

III. Твердження хибне, тому що пряма, що лежить в одній з паралельних площин, може бути паралельною або мимобіжною з прямими, які лежать в іншій паралельній площині.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, властивостей ромба, уміння розв'язувати планіметричні задачі.

Дано: ромб \(ABCD\), \(AB=12\) см, \(\angle A=120^\circ.\)

Більша діагональ лежить напроти більшого кута ромба \(\angle A=\angle C=120^\circ.\) Тому \(BD\) – більша діагональ.

У трикутнику \(DAB\ \angle A=120^\circ\), \(AB=AD=12\) см. За теоремою косинусів:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos A=\\[6pt] =12^2+12^2-2\cdot 12\cdot 12\cdot \left(-\frac 12\right)=\\[6pt] =2\cdot 12^2+12^2=3\cdot 12^2. \end{gather*}

Отже, $$ BD=\sqrt{3\cdot 12^2}=12\sqrt{3}\ \textit{см}. $$

Відповідь: Г.