Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування ірраціональних нерівностей, уміння розв'язувати нерівності з параметрами.

Розв'язок нерівності \(\sqrt{f(x)}\gt a\) – це сукупність систем:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} a\lt 0,\\ f(x)\ge 0, \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ f(x)\gt a^2. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*}

Таким чином,

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \frac{4x-1}{x-1}\ge 0,\\ a\lt 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ \frac{4x-1}{x-a}\gt a^2.\ \ \ \ (2) \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжемо (1) систему методом інтервалів:

Розв'яжемо (2) систему:

Розглянемо 2 випадки:
1)

Для розв'язку методом інтервалів необхідно з'ясувати при яких значеннях \(a\)

\begin{gather*} \frac{a^3-1}{a^2-4}\ge a,\\[6pt] \frac{a^3-1}{a^2-4}-a\gt 0,\\[6pt] \frac{a^3-1-a^3+4a}{a^2-4}\gt 0,\\[6pt] \frac{4a-1}{a^2-4}\ge 0,\\[6pt] \frac{a-\frac 14}{(a-2)(a+2)}\ge 0. \end{gather*}

При \(a\in \left[0; \frac 14\right]\)

При \(a\in \left(\frac 14; 2\right)\)

При \(a=2\ x\gt 2\), \(x\in (2; +\infty).\)

2) $$ \left\{\begin{array}{l} a\in (2; +\infty),\\ \left(x-\frac{a^3-1}{a^2-4}\right)(x-a)\lt 0. \end{array}\right. $$

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та пощини у просторі.

Це завдання перевіряє знання кута між площинами, перерізів многогранників; уміння застосовувати властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач.

1. Якщо \(\angle A\) – гострий, то \(BD\) – менша діагональ ромба.

2. Побудуємо переріз призми площиною \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) через \(BD\) та вершину \(C_1.\)

Точки \(D\) та \(C_1\) належать площині \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) та грані \((DCC_1)\), тому \(DC_1\) – слід січної площини на бічной грані \((DCC_1).\) Точки \(B_1\) та \(C_1\) – спільні точки площин \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) та \((BCC_1)\), тому \(BC_1\) – пряма перетину площин \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) та \((BCC_1).\)

Отже, \(BDC_1\) – шуканий переріз.

3. \(CO\ \perp\ BD\) (властивість ромба), тому \(C_1O\ \perp\ BD\) (за теоремою про три перпендикуляра).

Отже, \((C_1OC)\ \perp\ BD\) (за ознакою перпендикулярності прямої та площини).

\(\angle C_1OC=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) лінійний кут відповідного двограного \(\angle (\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}, (ABC))=\angle C_1OC=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)

4. У \(\Delta C_1OC\ (\angle C=90^\circ)\),

\begin{gather*} C_1O=\frac{h}{\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}},\\[6pt] OC=h\mathrm{ctg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}. \end{gather*}

5. За властивістю ромба \(AC\) – бисектриса \(\angle A\), тому \(\angle OAD=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}.\)

У \(\Delta AOD\ (\angle O=90^\circ)\), \(OD=AO\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}=h\mathrm{ctg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}.\)

6.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Квадратична функція. Похідна функції, її геометричний зміст. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння будувати графік квадратичної функції, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою, знаходити похідні елементарних функцій, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу; знання рівняння дотичної до графіка функції в точці.

\(f(x)=x^2-3x-4\) – квадратична функція, графік парабола.

1. Знаходимо точки перетину графіка \(f\) з осями координат:

\begin{gather*} x=0,\\[7pt] f(0)=0^2-3\cdot 0-4=-4, \end{gather*}

\((0; -4)\) з віссю \(Oy.\)

\begin{gather*} f(x)=0,\\[7pt] x^2-3x-4=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта $$ \left[\begin{array}{l} x_1=4,\\ x_2=-1. \end{array}\right. $$ \((4; 0)\), \((-1; 0)\) з віссю \(Ox.\)

2. Вершина параболи

\(a=1\gt 0\) віти параболи напрямлені вгору.

3. Знаходимо похідну функції:

\begin{gather*} f'(x)=2x-3,\\[7pt] f'(x_0)=2x_0-3=1,\\[7pt] 2x_0=4,\\[7pt] x_0=2. \end{gather*}

4. Рівняння дотичної до графіка функції має вигляд:

Відповідь: 1. \((0; -4)\), \((4; 0)\), \((-1; 0).\)
                   3. \(x_0=2.\)
                   4. \(y=x-8.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат на площині, координати точки, формули площі трапеції.

Позначимо задані точки на координатній площині.

Задано трапеція \(ABCD.\) Точки \(B\) та \(C\) мають однакову ординату, тому пряма \(BC\) паралельна осі \(Ox.\)

\(BC\ ||\ AD\), тому точка \(D\) має з точкою \(A\) однакову ординату \(y=3.\) Площа трапеції \(42\), тому $$ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h, $$ де \(h\) – висота трапеції, складемо рівняння.

\begin{gather*} BC=6,\\[7pt] h=BK=3,\\[7pt] S=42,\\[6pt] \frac{6+AD}{2}\cdot 3=42, \end{gather*}

звідси \(AD=22.\)

Так як точка \(A\) має абсцису \(-1\), то точка \(D\) буде мати абсцису \(21.\)

Відповідь: \(21.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.

Кількість способів розташування \(5\) автобусів в колоні знаходимо за формулою перестановок:

Так як супровідні автомобілі можуть помінятися місцями, то способів складання колони $$ 120\cdot 2=240. $$

Відповідь: \(240.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що зводиться до квадратного, розв'язувати текстові задачі.

Нехай порожній басейн заповнюється з другої труби за \(x\) хвилин, тоді з першої труби – за \((x-40)\) хвилин.

За \(1\) хвилину працюючи разом вони заповнять \(1/21\) частину басейну. Складемо рівняння:

\begin{gather*} \frac{1}{x-40}+\frac 1x=\frac{1}{21},\\[6pt] \frac{x+x-40}{x(x-40)}=\frac{1}{21},\\[6pt] \frac{2x-40}{x^2-40x}=\frac{1}{21},\\[6pt] \text{ОДЗ}:\ \ \left[\begin{array}{l} x\ne 0,\\ x\ne 40, \end{array}\right.\\[7pt] x^2-40x=21(2x-40),\\[7pt] x^2-40x=42x-840,\\[7pt] x^2-82x+840=0. \end{gather*}

Корені рівняння

Отже, друга труба наповнює басейн за \(70\) хвилин, а перша – за $$ 70-40=30\ \text{хв.} $$

Відповідь: \(30.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії, вміння розв'язувати задачі на арифметичну та геометричну прогресії.

За умовою \((b_n)\) – геометрична зростаюча прогресія. Складемо систему рівнянь:

$$ \left[\begin{array}{l} b_2+b_4=45,\\ b_2\cdot b_4=324. \end{array}\right. $$

Розв'яжемо методом підстановки:

Отже, \(b_2=36\), або \(b_2=9.\)

При \(b_2=36\), \(b_4=9.\)

При \(b_2=9\), \(b_4=36.\)

За умовою прогресія зростаюча, тому \(b_2=9\), \(b_4=36\ (q\gt 1).\)

\begin{gather*} b_4=b_2\cdot q^2,\\[7pt] q^2=b_4:b_2=36:9=4,\\[7pt] q=\pm 2. \end{gather*}

Знаменник зростаючої геометричної прогресії завжди додатній \((q \gt 1).\) Отже, \(q=2.\)

Відповідь: \(4\mathord{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(\Delta APB\ (\angle P=90^\circ)\) \(\angle A=60^\circ\), \(\angle B=30^\circ.\)

За властивостю катета, який лежить напроти кута \(30^\circ\) $$ AP=\frac 12AB=\frac 12\cdot 12=6. $$

2. \(\angle KAP=\angle BCK\) як внутнішні різнсторонні при \(BC\ ||\ AP\) та січної \(AC.\)

\(\Delta AKP\) подібний \(\Delta CKP\) (за гострим кутом), тому відповідні сторони пропорційні

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(72.\)