Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 860

Математика. Всі запитання починаючи з 860

861862863864865866867868869870871872873874875 ▶

Завдання 861 з 2375

Обчисліть \(\log_a\sqrt{ab}\), якщо \(\log_a b=7\).

А\(\dfrac{2}{3}\)

Б\(2\)

В\(3\)

Г\(\dfrac{7}{2}\)

Д\(4\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

За властивістю логарифма

\begin{gather*} \log_a a = 1;\\[7pt] \log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c;\\[7pt] \log_a b^n = n \log_a b. \end{gather*}

Cпростимо вираз:

\begin{gather*} \log_a \sqrt{ab} = \log_a \sqrt{a} + \log_a \sqrt{b}= \log_a a^{\textstyle \frac 12} + \log_a b^{\textstyle \frac 12}=\\[6pt] =\frac 12\log_a a + \frac 12\log_a b=\frac 12\cdot 1 + \frac 12\cdot 7=\frac 12 + \frac 72=\frac 82 = 4. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14317

Завдання 862 з 2375

Укажіть, скільки можна скласти різних правильних дробів, чисельниками і знаменниками яких є числа \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\).

А\(28\)

Б\(56\)

В\(70\)

Г\(112\)

Дінша відповідь

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Правильний дріб – це дріб, у якого чисельник менше знаменника.

Зі знаменником \(9\) правильні дроби мають чисельники: \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) (\(7\) дробів).

Зі знаменником \(8\) – \(6\) дробів, зі знаменником \(7\) – \(5\) дробів, з \(6\) у знаменнику – \(4\) дроби, з \(5\) – \(3\) дроби, з \(4\) – \(2\) дроби, з \(3\) – \(1\) дріб.

Отже, кількість правильних дробів

\begin{gather*} 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14318

Завдання 863 з 2375

Розв’яжіть нерівність \(\log_{0{,}5}5 \lt \log_{0{,}5}x\).

А\((-5;0)\)

Б\((0;5)\)

В\((5;+\infty)\)

Г\((0{,}5;5)\)

Д\((-\infty;5)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Функція \(y = \log_{0{,}5} x\) спадна. Область визначення функції – \(x \in (0; +\infty).\)

\begin{gather*} \begin{cases} 5\gt x, \\ x\gt 0, \end{cases}\ \ \begin{cases} x\lt 5, \\ x\gt 0. \end{cases} \end{gather*}

\begin{gather*} x \in (0; 5). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14319

Завдання 864 з 2375

Укажіть корінь рівняння \(|x^2-6x|=9\), який належить проміжку \((-2;1]\).

А\(3-3\sqrt 2\)

Б\(3-\sqrt 2\)

В\(1\)

Г\(2\)

Д\(4-2\sqrt 2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні нерівності з модулем.

\begin{gather*} \begin{cases} x^2 - 6x = 9, \\ x^2 - 6x = -9, \end{cases} \ \ \begin{cases} x^2 - 6x - 9 = 0, \\ x^2 - 6x + 9 = 0. \end{cases} \end{gather*}

1) \(x^2 - 6x - 9 = 0\)

\begin{gather*} D = 36 - 4 \cdot (-9) = 72;\\[6pt] x_1 = \frac{6 + \sqrt{72}}{2} = \frac{6 + 6\sqrt{2}}{2} = 3 + 3\sqrt{2};\\[6pt] x_2 = 3 - 3\sqrt{2}. \end{gather*}

2) \(x^2 - 6x + 9 = 0\)

\begin{gather*} (x - 3)^2 = 0;\\[7pt] x_3 = 3. \end{gather*}

Корінь, який належить проміжку \((-2; 1]\ x = 3 - 3\sqrt{2}.\)

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14320

Завдання 865 з 2375

Розв’яжіть рівняння: \(3^{\textstyle x}=\dfrac{2\sqrt3}{6}\).

Арівняння не має коренів

Б\(x=-1\)

В\(x=-0{,}5\)

Г\(x=0{,}5\)

Д\(x=1\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^x = \frac{2\sqrt{3}}{6};\\[7pt] 3^x = \frac{\sqrt{3}}{3};\\[7pt] 3^x = 3^{{\textstyle \frac 12}-1};\\[7pt] 3^x = 3^{\textstyle -\frac 12};\\[7pt] x = -0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14321

Завдання 866 з 2375

Укажіть область значень функції \(y=\sqrt{x^2+9}-6\).

А\([9;+\infty)\)

Б\([0;+\infty)\)

В\([3;+\infty)\)

Г\([-3;+\infty)\)

Д\((-\infty;+\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень функції.

\begin{gather*} x^2 + 9 \ge 9;\\[7pt] \sqrt{x^2 + 9} \ge 3;\\[7pt] \sqrt{x^2 + 9} - 6 \ge -3. \end{gather*}

Отже, \(E(y) = [-3; +\infty).\)

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14322

Завдання 867 з 2375

На рисунку зображено графіки функцій

\(g(x)=\sqrt{4-x}\) і \(f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}\sqrt{x+8}\).

Укажіть проміжок, на якому виконується нерівність \(f(x)\le g(x)\).

А\((-\infty;0]\)

Б\([-8;+\infty)\)

В\([0;+\infty)\)

Г\([0;4]\)

Д\([-8;0]\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння виконувати елементарні перетворення графіків функцій, розв’язувати нерівності графічно.

Проміжок, на якому \(f(x) \le g(x)\), графічно – це проміжок, на якому графік функції \(f(x)\) лежить нижче графіка \(g(x).\)

Отже, \(x \in [-8; 0).\)

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14323

Завдання 868 з 2375

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А\(\int\limits^{1}_{-1}f(x)dx\)

Б\(\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx-\int\limits^{1}_{0}f(x)dx\)

В\(\int\limits^{1}_{0}f(x)dx-\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx\)

Г\(2\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx\)

Д\(2\int\limits^{1}_{0}f(x)dx\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

\begin{gather*} S = S_1 + S_2.\\[6pt] S = \mathop{\int}\limits_{-1}^{0} f(x)\ dx + \mathop{\int}\limits_{0}^{1} -f(x)\ dx= \mathop{\int}\limits_{-1}^{0} f(x)\ dx - \mathop{\int}\limits_{0}^{1} f(x)\ dx. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14324

Завдання 869 з 2375

Знайдіть значення виразу \(\dfrac{\sqrt{9+a^2-6a}}{a-3}\), якщо \(a=2{,}5\).

А\(-1\)

Б\(-0{,}5\)

В\(0\)

Г\(0{,}5\)

Д\(1\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} \frac{\sqrt{9 + a^2 - 6a}}{a - 3} = \frac{\sqrt{(a - 3)^2}}{a - 3}= \frac{|a - 3|}{a - 3}. \end{gather*}

При \(a = 2{,}5\)

\begin{gather*} |a - 3| = 3 - a. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} \frac{|a - 3|}{a - 3} = \frac{-(a - 3)}{a - 3} = -1. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14325

Завдання 870 з 2375

Тіло рухається прямолінійно за законом \(s(t)=\frac{2}{3}t^3-2t^2+4t\) (час \(t\) вимірюється в секундах, шлях \(s\) – в метрах). Визначте прискорення його руху в момент \(t = 10\) c.

А\(164\) м/с\(^2\)

Б\(60\) м/с\(^2\)

В\(36\) м/с\(^2\)

Г\(20\) м/с\(^2\)

Д\(10\) м/с\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати механічний зміст похідної функції.

\begin{gather*} S(t) = \frac 23t^3 - 2t^2 + 4t.\\[6pt] V(t) = S'(t) = \frac 23 \cdot 3t^2 - 2 \cdot 2t + 4 = 2t^2 - 4t + 4.\\[6pt] a(t) = v'(t) = 4t - 4. \end{gather*}

Прискорення руху тіла – це друга похідна від рівняння шляху.

\begin{gather*} a(10) = 4 \cdot 10 - 4 = 40 - 4 = 36\ \text{м/с}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14326

Завдання 871 з 2375

У трикутнику \(ABC\ \angle A = 59^\circ\), \(\angle B = 62^\circ\). Із вершин цих кутів проведено висоти, що перетинаються в точці \(O\). Визначте величину кута \(AOB\).

А\(98^\circ\)

Б\(121^\circ\)

В\(144^\circ\)

Г\(149^\circ\)

Д\(154^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей кутів многокутника.

\(\angle A = 59^\circ\), \(\angle B = 62^\circ.\)

\begin{gather*} \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (59^\circ + 62^\circ) = 59^\circ \end{gather*}

(сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ.\)).

\(MOPC\) – чотирикутник. Сума кутів чотирикутника – \(360^\circ.\) \(\angle P + \angle M = 180^\circ\), отже, \(\angle O + \angle C = 180^\circ.\)

\begin{gather*} \angle O = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ. \end{gather*}

\(\angle AOB = \angle POM = 121^\circ\) (як вертикальні).

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14327

Завдання 872 з 2375

Сторони трикутника, одна з яких на \(8\) см більша за другу, утворюють кут \(120^\circ\), а довжина третьої сторони дорівнює \(28\) см. Знайдіть периметр трикутника.

А\(84\) см

Б\(72\) см

В\(64\) см

Г\(60\) см

Д\(56\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів.

Нехай \(AB = x\) см, \(BC = (x + 8)\) см, \(AC = 28\) см. \(\angle B = 120^\circ.\)

За теоремою косинусів:

\begin{gather*} AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos B;\\[6pt] 784 = x^2 + (x + 8)^2 - 2 \cdot x \cdot (x + 8) \cdot \left(-\frac 12\right);\\[6pt] x^2 + x^2 + 16x + 64 + x(x + 8) = 784;\\[7pt] 3x^2 + 24x - 720 = 0;\\[7pt] x^2 + 8x - 240 = 0;\\[7pt] x = 12;\\[7pt] x = -20\ \text{(не задовольняє умові задачі).}\\[7pt] P = AB + BC + AC = 12 + 20 + 28 = 60\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14328

Завдання 873 з 2375

На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складеного з двох квадратів і чотирьох однакових прямокутників, довжина сторін яких – \(3\) см і \(6\) см. Визначте об’єм цього тіла.

А\(108\) см\(^3\)

Б\(54\) см\(^3\)

В\(144\) см\(^3\)

Г\(36\) см\(^3\)

Дінша відповідь

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників за їх розгорткою.

На рисунку зображено розгортку прямокутного паралелепіпеда. Основа – квадрат зі стороною \(6\) см.

\begin{gather*} V = a \cdot b \cdot c;\\[7pt] V = 6 \cdot 6 \cdot 3 = 108\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14329

Завдання 874 з 2375

У склянку циліндричної форми, наповнену водою по самі вінця, поклали металеву кульку, що дотикається до дна склянки та стінок (див. рисунок). Визначте відношення об’єму води, яка залишилась у склянці, до об’єму води, яка вилилася зі склянки.

А\(1:\pi\)

Б\(2:\pi\)

В\(1:2\)

Г\(2:3\)

Д\(1:3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей, формул площ поверхонь кулі та циліндра.

\begin{gather*} V_\text{ц} = \pi R^2 H;\\[6pt] R_\text{ц} = R_\text{к};\\[6pt] H = 2R_\text{к}. \end{gather*}

Oб’єм циліндра:

\begin{gather*} V_\text{ц} = \pi R_\text{к}^2 \cdot 2R_\text{к} = 2\pi R_\text{к}^3. \end{gather*}

Oб’єм кулі, об’єм води, яка вилилася зі склянки:

\begin{gather*} V_\text{к} = \frac 43\pi R_\text{к}^3. \end{gather*}

Oб’єм води, що залишилася:

\begin{gather*} V_\text{ц} - V_\text{к}=2\pi R_\text{к}^3 - \frac 43\pi R_\text{к}^3 =\frac{2\pi R_\text{к}^3}{3}.\\[6pt] \frac{V_\text{ц}-V_\text{к}}{V_\text{к}} =\frac{2\pi R_\text{к}^3}{3 \cdot 4 \cdot \pi R_\text{к}^3} = \frac 12. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14330

Завдання 875 з 2375

Обчисліть \(2\sqrt{13}\cos(\operatorname{arctg}\dfrac{2}{3})\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання співвідношень між сторонами та кутами прямокутного трикутника, вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \alpha = \frac 23;\\[6pt] \alpha = \mathrm{arctg}\ \frac 23;\\[6pt] a = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\ \text{(за теоремою Піфагора).}\\[6pt] \cos\left(\mathrm{arctg}\ \frac 23\right) = \frac{3}{\sqrt{13}};\\[6pt] 2\sqrt{13}\cos\left(\mathrm{arctg}\ \frac 23\right)= 2\sqrt{13} \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = 6. \end{gather*}

Відповідь: \(6.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14331