Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 950

Математика. Всі запитання починаючи з 950

951952953954955956957958959960961962963964965 ▶

Завдання 951 з 2067

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $\frac x2+\frac x3=2$?

А$0\mathord{,}4$

Б$1\mathord{,}2$

В$2\mathord{,}4$

Г$5$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на $6.$ \begin{gather*} \frac x2+\frac x3=2\ |\cdot 6\\[6pt] 3x+2x=12\\[7pt] 5x=12\\[7pt] x=12:5\\[7pt] x=2\mathord{,}4. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 390. Запитання: 19488

Завдання 952 з 2067

Довжини сторін $AB$ та $BC$ прямокутника $ABCD$ відносяться як $2:5$, а його периметр дорівнює $28$ см. Визначте довжину більшої сторони цього прямокутника.

А$10$ см

Б$20$ см

В$7$ см

Г $14$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити периметр.

$$AB : BC = 2 : 5.$$ Нехай \begin{gather*} AB=CD=2x\ \text{см},\\[7pt] BC=AD=5x\ \text{см},\\[7pt] P_{ABCD}=2(AB+BC). \end{gather*} Отже, \begin{gather*} 2(2x+5x)=28\\[7pt] 14x=28\\[7pt] x=2. \end{gather*} Більша сторона прямокутника $$BC=5x=5\cdot 2=10\ \text{см}.$$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 390. Запитання: 19487

Завдання 953 з 2067

Відстань між Києвом та Стокгольмом дорівнює $1265$ км. Округліть її до сотень кілометрів.

А$1000$ км

Б$1200$ км

В$1260$ км

Г$1270$ км

Д$1300$ км

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє знання правил округлення цілих чисел.

В числі $1265$: цифра "$2$", позначає сотні, а наступна цифра "$6$" – позначає десятки.

Округлення до сотень означає, що ми дивимося на число, яке позначає десятки, щоб вирішити – збільшувати сотні чи залишити як є. Оскільки $6 \gt 5 \rightarrow$ округлюємо вгору. Отже, $1265 \approx 1300$ км.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 390. Запитання: 19486

Завдання 954 з 2067

Задано рівняння $$ (25x+2a\cdot 5^x+a^2)\cdot \sqrt{\frac{x+8}{x+3}-2}=0, $$ де $x$ – змінна, $a$ – стала.

1. Розв'яжіть рівняння $$ \sqrt{\frac{x+8}{x+3}-2}=0. $$

2. Розв'яжіть задане рівняння залежно від значень $a.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння та нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, показникові рівняння з параметром, раціональні нерівності.

1. Розв'яжемо рівняння: \begin{gather*} \sqrt{\frac{x+8}{x+3}-2}=0,\ \ \left\{\begin{array}{l} \frac{x+8}{x+3}-2=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right. \\[6pt] \left\{\begin{array}{l} \frac{x+8-2(x+3)}{x+3}=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} \frac{x+8-2x-6}{x+3}=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right. \\[6pt] \left\{\begin{array}{l} \frac{2-x}{x+3}=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x=2,\\ x\ne -3, \end{array}\right. \end{gather*} Отже, $x=2.$

2. Розв'яжемо в залежності від параметра $a$

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} 25^x+2a\cdot 5^x+a^2=0,\\ \frac{x+8}{x+3}-2=0, \end{array}\right. \\ \frac{2-x}{x+3}\ge 0, \end{array}\right. \ \ \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} (5^x+a)^2=0,\\ x=2, \end{array}\right. \\ x\in (-3; 2]. \end{array}\right. \end{gather*}

Нерівність $\frac{2-x}{x+3}\ge 0$ розв'яжемо методом інтервалів:
$$ \frac{-(x-2)}{x+3}\ge 0,\ \ \frac{x-2}{x+3}\le 0, $$

$$ \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} 5^x=a,\\ x=2, \end{array}\right. \\ x\in (-3; 2]. \end{array}\right. $$ $x_1=2$ – розв'язок рівняння при будь-якому значенні $a.$

Рівняння $5^x=-a$ має розв'язки при $a\lt 0.$ $x_2=\log_5(-a)$ буде коренем рівняння при $-3\lt x_2\le 2.$
$-3\lt x_2\le 2.$

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \log_5(-a)\gt -3,\\ \log_5(-a)\le 2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} -a\gt \frac{1}{125},\\ -a\le 25, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\lt -\frac{1}{125},\\ a\ge -25, \end{array}\right.\\[6pt] a\in \left[-25; -\frac{1}{125}\right). \end{gather*}

$x_1=x_2$, якщо $5^2=-a$, $a=-25.$

При $a\in (-\infty; -25]\cup \left[-\frac{1}{125}; +\infty\right)\ \ x=2.$

При $a\in\left(-25; -\frac{1}{125}\right)\ \ x=2$, $x=\log_5(-a).$

Відповідь:
1. $2.$
2. при $a\in (-\infty; -25]\cup \left[-\frac{1}{125}; +\infty\right)\ \ x=2.$
при $a\in\left(-25; -\frac{1}{125}\right)\ \ x=2$, $x=\log_5(-a).$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 384. Запитання: 19008

Завдання 955 з 2067

Доведіть, що $x^4+y^4\ge x^3y+xy^3$ для всіх дійсних чисел $x$ та $y.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 3.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, доводити нерівності.

\begin{gather*} x^4+y^4\ge x^y+xy^3,\ x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge 0,\\[7pt] (x^4-x^3y)+(y^4-xy^3)\ge 0,\ x^3(x-y)+y^3(y-x)\ge 0,\\[7pt] x^3(x-y)-y^3(x-y)\ge 0,\ (x-y)(x^3-y^3)\ge 0,\\[7pt] (x-y)(x-y)(x^2+xy+y^2)\ge 0,\ (x-y)^2(x^2+xy+y^2)\ge 0. \end{gather*}

$(x-y)^2\ge 0$ при будь-яких значеннях $x$ та $y.$

$$ x^2+xy+y^2=x^2+2\frac 12xy+\frac 14y^2+\frac 34y^2=\left(x+\frac 12y\right)^2+\frac 34y^2. $$

Виділили квадрат двочлена з виразу $(x^2+xy+y^2)$, отримали суму двох невід'ємних виразів, які одночасно не дорівнюють нулю.

Отже, вираз $x^2+xy+y^2\gt 0$ при будь-яких значеннях $x$ та $y.$

Якщо $(x-y)^2\ge 0$ та $x^2+xy+y^2\gt 0$, то і їхній добуток $(x-y)^2(x^2+xy+y^2)\ge 0$, що й вимагалося довести.

Тест 384. Запитання: 19007

Завдання 956 з 2067

Відповідно до умови завдання 31:

1. Зобразіть на рисунку правильну чотирикутну піраміду $SABCD$ тa укажіть лінійний кут $\mathbf{\gamma}$ двогранного кута при ребрі основи цієї піраміди. Обґрунтуйте його положення.

2. Визначте кут $\mathbf{\gamma}.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 2.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей правильної піраміди, кута між площинами, вміння розв’язувати прямокутні трикутники.

1. $\Delta AOB$ побудуємо $OK\perp AB.$

За теоремою про три перпендикуляри похила $SK\perp AB.$ Отже, $(SKO)\perp AB.$ $\angle SKO=\mathbf{\gamma}$ – лінійний кут відповідного двогранного між площинами $(BSA)$ i $(ABC)$, $AO$ – проекція $SA$ на $(ABC)$, $KO$ – прекція $SK$ на $(ABC).$

2. $\Delta ABC (\angle B=90^\circ)\ AB=BC$, $AC=24\cos\mathbf{\beta}.$

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=2AB^2,\ \ 576\cos^2\mathbf{\beta}=2AB^2,\\[7pt] AB=\sqrt{288\cos^2\mathbf{\beta}}=12\cos\mathbf{\beta}\cdot \sqrt{2}=12\sqrt{2}\cos\mathbf{\beta},\\[6pt] OK=\frac 12AB=6\sqrt{2}\cos\mathbf{\beta}.\\[6pt] \Delta SOK (\angle O=90^\circ)\ \operatorname{tg}\ \mathbf{\gamma}=\frac{SO}{OK}=\frac{12\sin\mathbf{\beta}}{6\sqrt{2}\cos\mathbf{\beta}}=\sqrt{2}\operatorname{tg}\ \mathbf{\beta},\\[6pt] \mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}(\sqrt{2}\operatorname{tg}\ \mathbf{\beta}). \end{gather*}

Відповідь: $\mathrm{arctg}(\sqrt{2}\operatorname{tg}\ \mathbf{\beta}).$

Тест 384. Запитання: 19006

Завдання 957 з 2067

У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ з основою $ABCD$ бічне ребро утворює з площиною основи кут $\mathbf{\beta}.$ Довжина бічного ребра дорівнює $12.$

1. Зобразіть на рисунку правильну чотирикутну піраміду $SABCD$ тa позначте кут $\mathbf{\beta}$ між бічним ребром $SA$ та площиною основи піраміди.

2. Визначте довжину висоти піраміди.

3. Знайдіть об'єм піраміди $SABCD.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей правильної піраміди, кута між прямою та площиною, вміння знаходити об’єм піраміди.

$SABCD$ – правильна піраміда. Отже, $ABCD$ – квадрат, основа висоти піраміди $SO$ точка $O$ – центр квадрата (точка перетину діагоналей).

1. $SO\perp (ABC)$, $SA$ – похила до площини, $AO$ – проекція $SA$ на $(ABC).$ Отже, $\angle (SA, (ABC))=\angle SAO=\mathbf{\beta}.$

2. $\Delta SOA (\angle O=90^\circ)\ \angle A=\mathbf{\beta}$, $SA=12.$

3. $\Delta SOA (\angle )=90^\circ)$, $AO=SA\cdot \cos\mathbf{\beta}=12\cos\mathbf{\beta}.$

$AC=2AO=24\cos\mathbf{\beta}.$ $S_{ABCD}=\frac 12AC^2=\frac 12\cdot (24\cos\mathbf{\beta})^2=288\cos^2\mathbf{\beta}.$

$V=\frac 13S_\text{основи}\cdot H$, де $S_\text{основи}=S_{ABCD}=288\cos^2\mathbf{\beta}$, $H=SO=12\sin\mathbf{\beta}.$

$V=\frac 13\cdot 288\cos^2\mathbf{\beta}\cdot 12\sin\mathbf{\beta}=1152\cos^2\mathbf{\beta}\sin\mathbf{\beta}.$

Відповідь: 2. $12\sin\mathbf{\beta}.$
3. $1152\cos^2\mathbf{\beta}\sin\mathbf{\beta}.$

Тест 384. Запитання: 19005

Завдання 958 з 2067

Задано функцію $y=\sqrt{x}-2.$

1. Для наведених у таблиці значень $x$ та $y$ заданої функції визначте відповідні їм значення $y$ та $x.$ Результати запишіть у таблицю.

$x$	$y$
$0$
	$0$
$9$

2. Побудуйте графік функції $y=\sqrt{x}-2.$

3. Позначте на рисунку точки перетину графіка функції з осями координат та укажіть координати цих точок.

4. Знайдіть одну з первісних $F(x)$ для функції $f(x)=\sqrt{x}-2.$

5. Запишіть формулу для обчислення площі $S$ фігури, обмеженої графіком функції $f$ та осями координат.

6. Обчисліть площу $S$ цієї фігури.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій, використовуючи елементарні перетворення графіків, знаходити площу фігури, обмеженої лініями, застосовувати формулу Ньютона-Лейбнiца для обчислення визначеного інтеграла.

1.
$y(0)=\sqrt{0}-2=-2$,
$y(9)=\sqrt{9}-2=3-2=1$,
$y(x)=0$, $\sqrt{x}-2=0$, $\sqrt{x}=2$, $x=4.$

$x$	$y$
$0$	$-2$
$4$	$0$
$9$	$1$

2. Побудуємо графік функції, використовуючи елементарне перетворення графіка функції $y=\sqrt{x}$ на $2$ одиниці вниз вздовж осі $Oy.$

3. Точка перетину графіка з віссю $Ox\ (4; 0)$, з віссю $Oy\ (0; -2).$

4. $$ F(x)=\frac{2x\sqrt{x}}{3}-2x+C $$ – загальний вигляд первісних функції, де $C$ – будь-яке число.

Наприклад, при $C=0$ первісна має вигляд $$ F(x)=\frac{2x\sqrt{x}}{3}-2x. $$

Оскільки графік функції лежить нижче від осі $Ox$, то площу фігури знаходимо за формулою:

$$ S=\int_a^b-f(x)dx;\ \ S=\int_0^4-(\sqrt{x}-2)dx=\int_0^4(2-\sqrt{x})dx. $$

6. Обчислимо площу фігури:

\begin{gather*} S=\int_0^4\left. \rule{0pt}{1.5em} (2-\sqrt{x})dx\right|_0^4=\left(8-\frac{2\cdot 4\sqrt{4}}{3}\right)\cdot \left(2\cdot 0-\frac{2\cdot 0\sqrt{0}}{3}\right)=\\[6pt] =8-\frac{16}{3}=8-5\frac 13=2\frac 23\ \text{кв. од.} \end{gather*}

Тест 384. Запитання: 19004

Завдання 959 з 2067

Туристичне бюро запропонувало Ганні відвідати на вихідний три міста. Ганна дізналася з Інтернету, що в кожному з них є $10$ цікавих туристичних об'єктів. Дівчина планує вибрати для поїздки лише одне місто і відвідати в ньому чотири цікавих об'єкти. Скільки всього в Ганни є варіантів вибору міста й чотирьох таких об'єктів у ньому? Уважайте, що порядок відвідування об'єктів неважливий.

Впишіть відповідь:

630

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість варіантів вибору в місті з $10$ об'єктів $4$ знаходимо за формулою сполук: $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}. $$ У кожному з трьох міст кількість варіантів однакова. Отже, всього у Ганни варіантів вибрати туристичні об'єкти

$$ 3\cdot C_{10}^4=3\cdot \frac{10!}{4!(10-4)!}=\frac{3\cdot 10!}{4!6!}=\frac{3\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{2\cdot 3\cdot 4}=630. $$

Відповідь: $630.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 384. Запитання: 19003

Завдання 960 з 2067

Розв'яжіть рівняння $|5-4x|=3.$ Якщо рівняння має єдиний корінь, то запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму.

Впишіть відповідь:

2.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля

$$ \left[\begin{array}{l} 5-4x=3,\\ 5-4x=-3, \end{array}\right. \ \ \left[\begin{array}{l} -4x=3-5,\\ -4x=-3-5, \end{array}\right. \ \ \left[\begin{array}{l} -4x=-2,\\ -4x=-8, \end{array}\right. \ \ \left[\begin{array}{l} x=0\mathord{,}5,\\ x=2. \end{array}\right. $$

У відповідь запишемо суму розв'язків: $0\mathord{,}5+2=2\mathord{,}5.$

Відповідь: $2\mathord{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 384. Запитання: 19002

Завдання 961 з 2067

Обчислить значення виразу $$ \frac{\log_527}{\log_52-\log_5162}. $$

Впишіть відповідь:

-0.75

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

$$ \frac{\log_5 27}{\log_52-\log_5 162}=\frac{\log_5 27}{\log_5(2:162)}=\frac{\log_5 3^3}{\log_5 3^{-4}}=\frac{3\log_5 3}{-4\log_5 3}=-\frac 34=-0\mathord{,}75. $$

Відповідь: $-0\mathord{,}75.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 384. Запитання: 19001

Завдання 962 з 2067

Велосипедист витратив $2$ години на дорогу з міста $A$ до міста $B.$ Мотоцикліст виїхав з міста $A$ на півтори години пізніше за велосипедиста, але прибув у місто $B$ одночасно з велосипедистом. Визначте відстань (у км) між містами $A$ та $B$, якщо швидкість мотоцикліста на $48$ км/год більша за швидкість велосипедиста. Уважайте, що велосипедист та мотоцикліст рухалися з міста $A$ до міста $B$ тією самою дорогою зі сталими швидкостями та без зупинок.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на рух.

Нехай швидкість велосипедиста $x$ км/год, тоді мотоцикліста $(x+48)$ км/год.

На дорогу з міста $A$ до міста $B$ велосипедист витратив $2$ години. Отже, відстань з $A$ до $B$ становить $2x$ км.

Мотоцикліст виїхав на $1\mathord{,}5$ год пізніше, але прибув одночасно з велосипедистом. Отже, $0\mathord{,}5(x+48)$ км становить відстань від $A$ до $B.$

$2x=0\mathord{,}5(x+48)$, $2x=0\mathord{,}5x+24$, $1\mathord{,}5x=24$, $x=16.$

Відстань між містами $A$ та $B$ $2\cdot 16=32$ км.

Відповідь: $32.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 384. Запитання: 19000

Завдання 963 з 2067

У шухляді лежать лише олівці та ручки. Відомо, що олівців на $12$ менше, ніж ручок. Скільки олівців лежить у шухляді, якщо ймовірність вибрати навмання iз шухляди одну ручку дорівнює $\frac 58$?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовiрностi події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

У шухляді олівці та ручки.

Нехай ручок було $x$ штук, тоді олівців: $x-12$ шт. Всього ручок та олівців було $$ x+x-12=2x-12. $$

Відомо, що ймовірність вибрати навмання одну ручку $P(A)=\frac 58.$ Тобто відношення кількості ручок до кількості всіх елементів дорівнює $\frac 58.$

\begin{gather*} \frac{x}{2x-12}=\frac 58,\ \ 5(2x-12)=x\cdot 8,\\[6pt] 10x-60=8x,\ \ 2x=60,\ \ x=30. \end{gather*}

Олівців лежить у шухляді $30-12=18$ шт.

Відповідь: $18.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 384. Запитання: 18999

Завдання 964 з 2067

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_2=1$, $a_4=9.$

1. Визначте різницю цієї прогресії.

2. Обчисліть суму $S_{20}$ двадцяти перших членів цієї прогресії.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	4			700

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми $n\text{-перших}$ членів арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії.

1. За формулою $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії \begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1). \end{gather*} Маємо: \begin{gather*} a_2=a_1+d,\\[7pt] a_4=a_1+3d. \end{gather*} Віднімемо від другого рівняння перше: \begin{gather*} a_4-a_2=2d. \end{gather*} Підставимо відомі значення $(a_2=1$, $a_4=9):$ \begin{gather*} 9-1=2d,\\[7pt] 2d=8,\\[7pt] d=4. \end{gather*}

2. За формулою суми $n\text{-перших}$ членів

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot 2,\ \ S_{20}=\frac{2a_1+4\cdot 19}{2}\cdot 20,\\[6pt] a_1=a_2-d=1-4=-3,\ \ S_{20}=\frac{-6+76}{2}\cdot 20=700. \end{gather*}

Відповідь: 1. $4.$
2. $700.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 384. Запитання: 18998

Завдання 965 з 2067

У прямокутній системі координат у просторі задано точки $A(-7; 4; -3)$ i $B(17; -4; 3).$ Точка $C$ є серединою відрізка $AB.$

1. Визначте абсцису точки $C.$

2. Обчисліть довжину (модуль) вектора $\overrightarrow{AC}.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	5			13

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Вектори і координати у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора, його довжину, координати середини відрізка.

1. Точка $C$ є серединою відрізка $AB.$ \begin{gather*} x_C=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-7+17}{2}=5,\\[6pt] y_C=\frac{4+(-4)}{2}=0,\\[6pt] z_C=\frac{-3+3}{2}=0.\\[6pt] C(5; 0; 0). \end{gather*}

2. $\overline{AC}(5-(-7); 0-4; 0-(-3))$,$\ \ \overline{AC}(12; -4; 3).$

$$ |\overline{AC}|=\sqrt{12^2+(-4)^2+3^2}=\sqrt{144+16+9}=\sqrt{169}=13. $$

Відповідь: 1. $5.$
2. $13.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 384. Запитання: 18997

Facebook

Twitter

\(x\)	\(y\)
\(0\)
	\(0\)
\(9\)

\(x\)	\(y\)
\(0\)	\(-2\)
\(4\)	\(0\)
\(9\)	\(1\)