ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей правильної піраміди, кута між прямою та площиною, вміння знаходити об’єм піраміди.

\(SABCD\) – правильна піраміда. Отже, \(ABCD\) – квадрат, основа висоти піраміди \(SO\) точка \(O\) – центр квадрата (точка перетину діагоналей).

1. \(SO\perp (ABC)\), \(SA\) – похила до площини, \(AO\) – проекція \(SA\) на \((ABC).\) Отже, \(\angle (SA, (ABC))=\angle SAO=\mathbf{\beta}.\)

2. \(\Delta SOA (\angle O=90^\circ)\ \angle A=\mathbf{\beta}\), \(SA=12.\)

3. \(\Delta SOA (\angle )=90^\circ)\), \(AO=SA\cdot \cos\mathbf{\beta}=12\cos\mathbf{\beta}.\)

Відповідь: 2. \(12\sin\mathbf{\beta}.\)
                   3. \(1152\cos^2\mathbf{\beta}\sin\mathbf{\beta}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій, використовуючи елементарні перетворення графіків, знаходити площу фігури, обмеженої лініями, застосовувати формулу Ньютона-Лейбнiца для обчислення визначеного інтеграла.

1.
\(y(0)=\sqrt{0}-2=-2\),
\(y(9)=\sqrt{9}-2=3-2=1\),
\(y(x)=0\), \(\sqrt{x}-2=0\), \(\sqrt{x}=2\), \(x=4.\)

2. Побудуємо графік функції, використовуючи елементарне перетворення графіка функції \(y=\sqrt{x}\) на \(2\) одиниці вниз вздовж осі \(Oy.\)

3. Точка перетину графіка з віссю \(Ox\ (4; 0)\), з віссю \(Oy\ (0; -2).\)

4. $$ F(x)=\frac{2x\sqrt{x}}{3}-2x+C $$ – загальний вигляд первісних функції, де \(C\) – будь-яке число.

Наприклад, при \(C=0\) первісна має вигляд $$ F(x)=\frac{2x\sqrt{x}}{3}-2x. $$

5.

Оскільки графік функції лежить нижче від осі \(Ox\), то площу фігури знаходимо за формулою:

6. Обчислимо площу фігури:

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість варіантів вибору в місті з \(10\) об'єктів \(4\) знаходимо за формулою сполук: $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}. $$ У кожному з трьох міст кількість варіантів однакова. Отже, всього у Ганни варіантів вибрати туристичні об'єкти

Відповідь: \(630.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля

У відповідь запишемо суму розв'язків: \(0\mathord{,}5+2=2\mathord{,}5.\)

Відповідь: \(2\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Відповідь: \(-0\mathord{,}75.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на рух.

Нехай швидкість велосипедиста \(x\) км/год, тоді мотоцикліста \((x+48)\) км/год.

На дорогу з міста \(A\) до міста \(B\) велосипедист витратив \(2\) години. Отже, відстань з \(A\) до \(B\) становить \(2x\) км.

Мотоцикліст виїхав на \(1\mathord{,}5\) год пізніше, але прибув одночасно з велосипедистом. Отже, \(0\mathord{,}5(x+48)\) км становить відстань від \(A\) до \(B.\)

Відстань між містами \(A\) та \(B\)    \(2\cdot 16=32\) км.

Відповідь: \(32.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовiрностi події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

У шухляді олівці та ручки.

Нехай ручок було \(x\) штук, тоді олівців: \(x-12\) шт. Всього ручок та олівців було $$ x+x-12=2x-12. $$

Відомо, що ймовірність вибрати навмання одну ручку \(P(A)=\frac 58.\) Тобто відношення кількості ручок до кількості всіх елементів дорівнює \(\frac 58.\)

\begin{gather*} \frac{x}{2x-12}=\frac 58,\ \ 5(2x-12)=x\cdot 8,\\[6pt] 10x-60=8x,\ \ 2x=60,\ \ x=30. \end{gather*}

Олівців лежить у шухляді \(30-12=18\) шт.

Відповідь: \(18.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\text{-перших}\) членів арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

1. За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії \begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1). \end{gather*} Маємо: \begin{gather*} a_2=a_1+d,\\[7pt] a_4=a_1+3d. \end{gather*} Віднімемо від другого рівняння перше: \begin{gather*} a_4-a_2=2d. \end{gather*} Підставимо відомі значення \((a_2=1\), \(a_4=9):\) \begin{gather*} 9-1=2d,\\[7pt] 2d=8,\\[7pt] d=4. \end{gather*}

2. За формулою суми \(n\text{-перших}\) членів

Відповідь: 1. \(4.\)
                   2. \(700.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Вектори і координати у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора, його довжину, координати середини відрізка.

1. Точка \(C\) є серединою відрізка \(AB.\) \begin{gather*} x_C=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-7+17}{2}=5,\\[6pt] y_C=\frac{4+(-4)}{2}=0,\\[6pt] z_C=\frac{-3+3}{2}=0.\\[6pt] C(5; 0; 0). \end{gather*}

Відповідь: 1. \(5.\)
                   2. \(13.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння знаходити довжину дуги кола.

1. За властивістю вписаного кута \(\angle ACB=\frac 12\angle AOB.\)
\(\angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 15^\circ=30^\circ.\) Градусна міра дуги \(AB\) дорівнює \(30^\circ.\)

2. \(l_{AB}=8\mathbf{\pi}\) см. За формулою довжини дуги $$l=\frac{\mathbf{\pi}R}{180^\circ}\cdot n^\circ,$$ де \(R\) – радіус кола, \(n\) – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

Відповідь: 1. \(30.\)
                   2. \(48.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на пропорційну залежність, відсоткові розрахунки.

1. \(800\) г борошна – \(16\mathord{,}56\) грн.
\(1\) кг борошна – ? грн.
Складемо пропорцію: $$ \frac{800}{1000}=\frac{16\mathord{,}56}{x} $$ (\(x\) грн – коштує \(1\) кг борошна).

2. \(1\) кг борошна фабрики "Колос" дорожчий за \(1\) кг борошна фабрики "Хлібна".
\(20\mathord{,}7-18=2\mathord{,}7\) грн.
\(2\mathord{,}7\) грн від \(18\) грн становить: $$ \frac{2\mathord{,}7}{18}\cdot 100\text{%}=15\text{%}. $$

Відповідь: 1. \(20\mathord{,}7.\)
                   2. \(15.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознак паралельності прямої та площини, аксіом стереометрії.

1. Точки \(B, D\in (ABC)\rightarrow BD\in (ABC).\) Отже, 1 – Б.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, прямокутного та рівнобедреного трикутників, теореми Піфагора.

1. За умовою завдання у прямокутник \(ABCD\) (\(AD=BC=12\) см) вписано рівнобедрений трикутник \(AKD.\) Якщо трикутник рівнобедрений, то $$ BK=KC=\frac 12BC=\frac 12\cdot 12=6\ \textit{см}. $$ \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, \(AB=8\) см. Отже, 1 – Б.

2. Центр кола, описаного навколо прямокутника, лежить на перетині діагоналей. Радіус кола – половина діагоналі \(BD.\) У \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, 2 – A.

3. \(ABKD\) – трапеція. Довжина середньої лінії $$ \frac{AD+BK}{2}=\frac{12+6}{2}=9\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, логарифмічними виразами, порівнювати числа, знання властивостей модуля числа.

1. \(a^2=(-0\mathord{,}6)^2=0\mathord{,}36\) належить проміжку \([0; 0\mathord{,}5].\) Отже, 1 – B.

2. \(|a|=|-0\mathord{,}6|=0\mathord{,}6=\frac 35.\) Отже, 2 – A.

3. \(\log_2(4+a)=\log_2(4-0\mathord{,}6)=\log_2 3\mathord{,}4\),

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Д.