Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 940

Математика. Всі запитання починаючи з 940

941942943944945946947948949950951952953954955 ▶

Завдання 941 з 2309

Розв’яжіть нерівність $2^x+2^{x+3}\ge 144.$

А$[34\mathord{,}5; +\infty)$

Б$[4; +\infty)$

В$(-\infty; 4]$

Г$(-\infty; 4\mathord{,}5]$

Д$[4\mathord{,}5; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності, що містять показникові вирази, застосовувати загальні методи та прийоми (застосування властивостей функцій) у процесі розв'язування нерівності.

Винесемо спільний множник $2^x$ за дужки:

\begin{gather*} 2^x(1+2^3)\ge 144,\\[7pt] 2^x(1+8)\ge 144,\\[7pt] 2^x\cdot 9\ge 144,\\[7pt] 2^x\ge 144:9,\\[7pt] 2^x\ge 16,\\[7pt] 2^x\ge 2^4. \end{gather*}

Функція $y=2^x$ зростаюча, тому $x\ge 4$, $x\in [4; +\infty).$

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14613

Завдання 942 з 2309

Укажіть похідну функції $f(x)=x(x^3+1).$

А$f'(x)=4x^3+1$

Б$f'(x)=4x^3$

В$f'(x)=3x^2$

Г$f'(x)=3x^2+1$

Д$f'(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{x^2}{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну елементарних функцій, знаходити суми двох функцій.

\begin{gather*} f(x)=x(x^3+1),\\[7pt] f(x)=x^4+x. \end{gather*}

Знайдемо похідну за правилом знаходження похідної суми двох функцій та похідної степеневої функції: $$ f'(x)=4x^3+1. $$

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14614

Завдання 943 з 2309

Ha рисунку зображено фрагмент поперечного перерізу стіни (прямокутник $KLMN$) з арковим прорізом $ABFCD$, верхня частина $BFC$ якого є дугою кола радіуса $1$ м. Відрізки $AB$ і $DC$ перпендикулярні до $AD$, $AB=DC=2$ м. $AD=1\mathord{,}6$ м, $KL=2\mathord{,}75$ м. Визначте відстань $d$ від найвищої точки $F$ прорізу до стелі $LM.$

А$0\mathord{,}25$ м

Б$0\mathord{,}3$ м

В$0\mathord{,}4$ м

Г$0\mathord{,}35$ м

Д$0\mathord{,}45$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Нехай точка $O$ – центр кола, дуга якого $BFC.$

Радіус кола – $OB=OF=OC=1$ м.

$BC\ ||\ AD$, $AB\ ||\ CD.$ $(AB\ \perp\ BC$, $CD\ \perp\ AD$ за властивістю паралельних прямих $AB\ ||\ CD)$. Отже, $ABCD$ – прямокутник, $BC=AD=1\mathord{,}6$ м.

$BC\cup OF=O_1$, $BC\ \perp\ OF.$

$\Delta BOC$ – рівнобедрений, $OO_1$ – висота та медіана, $$ BO_1=\frac 12BC=\frac 12AD=0\mathord{,}8\ \textit{м}. $$

$\Delta BOO_1\ (\angle O_1=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BO^2=OO_1^2+BO_1^2,\\[7pt] OO_1=\sqrt{1^2-0\mathord{,}8^2}=\sqrt{0\mathord{,}36}=0\mathord{,}6\ \textit{м},\\[7pt] O_1F=OF-OO_1=1-0\mathord{,}6=0\mathord{,}4\ \textit{м},\\[7pt] KL=AB+O_1F+d,\\[7pt] d=KL-AB-O_1F=2\mathord{,}75-2-0\mathord{,}4=0\mathord{,}35\ \textit{м}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14615

Завдання 944 з 2309

До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Пряма $y=4\mathord{,}5x$

2Пряма $y=-4$

3Пряма $y=2x+4$

4Пряма $y=x$

Закінчення речення

Ає паралельною прямій $y=2x.$

Бне має спільннх точок з графіком функції $y=x^2-1.$

Вперетинає графік функції $y=3^x$ y точці з абсцисою $x_0=2.$

Гє паралельною осі $y.$

Дє бісектрисою I i III координатних чвертей.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функції. Функціональна залежність. Лінійні, квадратичні, показникові функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень функції, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Пряма $y=4\mathord{,}5$ перетинає графік $y=3^x$ у точці з абсцисою $x_0=2.$

$3^2=4\mathord{,}5\cdot 2=9.$

Отже, правильна відповідь – В.

2. Пряма $y=-4$ не має спільних точок з графіком $y=x^2-1.$

$y=x^2-1$ – графік – парабола з гілками вгору та вершиною $(0; -1)$, a $y=-4$ – пряма, паралельна осі абсцис.

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Пряма $y=2x+4$ є паралельною прямій $y=2x$, бо вони мають однаковий кутовий коефіцієнт $k=2.$

Отже, правильна відповідь – A.

4. Пряма $y=x$ є бісектрисою І та ІІІ координатних чвертей, бо кутовий коефіцієнт $k=1$, тому $\operatorname{tg}\mathbf{\alpha}=1$, $\mathbf{\alpha}=45^\circ$ – кут нахилу прямої до додатнього напряму осі $Ox.$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14616

Завдання 945 з 2309

До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо $a=-3.$

Початок речення

1Значення виразу $a^0$

2Значення виразу $a^2$

3Значення виразу $\frac{|a|}{a}$

4Значення виразу $\sqrt[3]{a}$

Закінчення речення

Абільше за $1.$

Бдорівнює $1.$

Вдорівнює $0.$

Гдорівнює $-1.$

Д менше за $-1.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей степеня з цілим показником, уміння використовувати властивості модуля числа.

1. $a^0=1$, отже, правильна відповідь – Б.

2. $a^2=(-3)^2=9\gt 1$, отже, правильна відповідь – A.

3. $\frac{|a|}{a}$ при $a\lt 0\ |a|=-a$.

$\frac{-a}{a}=-1$, отже, правильна відповідь – Г.

4. $\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{-3}\lt \sqrt[3]{-1}$, отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14617

Завдання 946 з 2309

Циліндр і конус мають рівні об’єми та рівні радіуси основ. Площа основи циліндра дорівнює $25\mathbf{\pi}$ см$^2$, а його об’єм – $100\mathbf{\pi}$ см$^3.$ До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Висота циліндра дорівнює

2Висота конуса дорівнює

3Радіус основи циліндра дорівнює

4Твірна конуса дорівнює

Закінчення речення

А$4$ см

Б$5$ см

В$8$ см

Г$12$ см

Д$13$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей тіл і поверхонь обертання та їхніх елементів, уміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл.

1. $V_\text{ц}=\mathbf{\pi}R^2H=100\mathbf{\pi}$ см$^3$, отже $\mathbf{\pi}\cdot 25\cdot H=100\mathbf{\pi}$, $H=4$ см. Висота циліндра $4$ см

Отже, правильна відповідь – A.

2. $V_\text{к}=\frac 13\mathbf{\pi}R^2\cdot h=100\mathbf{\pi}$ см$^3$, $\frac 13\mathbf{\pi}\cdot 25\cdot h=100\mathbf{\pi}$, $h=12$ см.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. $S_\text{осн.цил.}=\mathbf{\pi}R^2=25\mathbf{\pi}$ см$^2$, $R^2=25$, $R=5$ см.

$R_\text{ц}=R_\text{к}=5$ см.

Отже, правильна відповідь – Б.

4. $\Delta BO_2C\ (\angle O_2=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

$BC^2=O_2C^2+O_2B^2=144+25=169$, $BC=13.$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14618

Завдання 947 з 2309

Для визначення ширини автомагістралі $h_\text{маг}$ (y м), що має по $4$ однакові смуги руху транспорту в обох напрямках (див. рисунок), використовують формулу $h_\text{маг}=8b+r+2\Delta$, де
$b$ – ширина однієї смуги руху транспорту;
$r$ – ширина розділювальної смуги між напрямками руху транспорту;
$\Delta$ – ширина запобіжної смуги між крайньою смугою руху й бордюром.

1. Визначте ширину $b$ (y м) однієї смуги, якщо $h_\text{маг}=40\mathrm{,}2$ м, $r=10$ м, $\Delta=1\mathord{,}5$ м.

2. Заплановано збільшити ширину $b$ кожної смуги руху транспорту на $10\ \text{%}$ за рахунок лише зменшення ширини $r$ розділювальної смуги. На скільки метрів потрібно зменшити ширину $r$ розділювальної смуги?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	3.4			2.72

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє знання правил виконання відсоткових розрахунків, уміння розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки.

1. Для визначення ширини автомагістралі використовують формулу

$$ h_\text{маг}=8b+r+2\Delta. $$

Якщо $h_\text{маг}=40\mathord{,}2$ м, $r=10$ м, $\Delta =1\mathord{,}5$ м, то

\begin{gather*} 40\mathord{,}2=8b+10+1\mathord{,}5\cdot 2,\\[7pt] 8b=40\mathord{,}2-13,\\[7pt] 8b=27\mathord{,}2,\\[7pt] b=27\mathord{,}2:8=3\mathord{,}4. \end{gather*}

2. Заплановано збільшити ширину кожної смуги руху транспорту на $10\text{%}$ за рахунок лише зменшення ширини $r$ розділювальної смуги. Кількість смуг руху – $8$, тому потрібно зменшити ширину $r$ на $$ 3\mathord{,}4\cdot 8\cdot 0\mathord{,}1=2\mathord{,}72\ \textit{м}. $$

Відповідь: 1. $3\mathord{,}4.$
2. $2\mathord{,}72.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14620

Завдання 948 з 2309

У прямокутному трикутнику $ABC\ (\angle C=90^\circ)$ відстані від середини медіани $BM$ до катетів $AC$ і $BC$ дорівнюють $5$ см і $6$ см відповідно.

1. Визначте довжину катета $AC$ (y см).

2. Визначте радіус (у см) кола, описаного навколо трикутника $ABC.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	24			13

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей медіани, середньої лінії трикутника, уміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язання планіметричних задач.

$BM$ – медіана, точка $K$ – середина медіани.

1. Відстань від точки $K$ до $AC$ – це $KF=5$ см, $KF\ \perp\ AC.$

Відповідно, $KE\ \perp\ BC,$ $KE=6$ см.

$KE\ \perp \ BC$, $AC\ \perp\ BC\rightarrow\ KE\ ||\ AC.$

За теоремою Фалеса, точка $E$ – середина $BC$, тому $KE$ – середня лінія $\Delta MBC.$

За властивістю середньої лінії, \begin{gather*} KE=\frac 12MC,\\[6pt] MC=2KE=2\cdot 6=12\ \textit{см}. \end{gather*} Оскільки $BM$ – медіана, то $AC=2MC=24$ см.

Отже, довжина катета $AC=24$ см.

2. Аналогічно, $KF$ – середня лінія $\Delta CMB$, тому $BC=2KF=10$ см.

За теоремою Піфагора, у $\Delta ABC\ (\angle C=90^\circ)$

\begin{gather*} AB^2=AC^2+CB^2=24^2+10^2=576+100=676,\\[7pt] AB=\sqrt{676}=26\ \textit{см}. \end{gather*}

За властивістю прямокутного трикутника, радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи. Отже, радіус кола $$ 26 : 2 = 13\ \textit{см}. $$

Відповідь: 1. $24$ см.
2. $13$ см.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14621

Завдання 949 з 2309

Знаменник геометричної прогресії дорівнює $\frac 23$ а сума чотирьох перших її членів дорівнює $65.$ Знайдіть перший член цієї прогресії.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функції. Числові послідовності. Геометрична прогресія.

Це завдання перевіряє знання формули суми n перших членів геометричної прогресії, уміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію..

За умовою \begin{gather*} q=\frac 23,\\[6pt] S_4=65. \end{gather*}

Знаходимо перший член цієї прогресії за формулою

\begin{gather*} S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1},\ \ \ \ S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1},\\[6pt] \frac{b_1\left(\left(\dfrac 23\right)^4-1\right)}{\dfrac 23-1}=65,\ \ \ \ \frac{b_1\left(\dfrac{16}{81}-1\right)}{-\dfrac 13}=65,\\[6pt] b_1\left(-\frac{65}{81}\right)\cdot\left(-\frac 31\right)=65,\ \ \ \ b_1=\frac{65\cdot 81}{65\cdot 3}=27. \end{gather*}

Відповідь: $27.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14622

Завдання 950 з 2309

У майстерні мали виготовити $240$ стільців за $n$ днів, причому щодня планували виробляти однакову кількість стільців. Однак, на прохання замовника, завдання виконали на $2$ дні раніше запланованого терміну. Для цього довелося денну норму виготовлення збільшити на $4$ стільці. Визначте $n.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні рівняння. Застосування рівнянь до розв'язування текстових задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння, застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач.

Нехай щодня планували виробляти $\frac{240}{n}$ стільців. Оскільки завдання виконали на $2$ дні раніше запланованого терміну, то щодня виробляли $\frac{240}{n-2}$ стільців. Денна норма збільшилась на $4$ стільця, тому складемо рівняння

\begin{gather*} \frac{240}{n-2}-\frac{240}{n}=4,\ \ \ \left\{\begin{array}{l} n\ne 2,\\ n\ne 0, \end{array}\right.\\[6pt] \frac{240(n-n+2)}{n(n-2)}=4,\ \ \ \frac{240\cdot 2}{n(n-2)}=4,\\[6pt] \frac{120}{n^2-2n}=1,\\[6pt] n^2-2n=120,\\[7pt] n^2-2n-120=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта знаходимо корені рівняння: $n=-10$ або $n=12.$

Оскільки $n$ – кількість днів, то визначається натуральним числом, то правильна відповідь: $12$ днів.

Відповідь: $12.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14623

Завдання 951 з 2309

B Оленки є $8$ різних фотографій з її зображенням тa $6$ різних фотографій її класу. Скільки всього в неї є способів вибрати з них $3$ фотографії зі своїм зображенням для персональної сторінки в соціальній мережі тa $2$ фотографії свого класу для сайту школи?

Впишіть відповідь:

840

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Комбінації. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє знання означення комбінацій, комбінаторні правила суми й добутку, уміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.

Кількість усіх можливих комбінацій з $n$ елементів по $k$ елементів знаходимо за формулою $$ C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}. $$

Кількість способів вибрати $3$ фотографії з $8$ зі своїм зображенням знаходимо за формулою $$ C_8^3=\frac{8!}{(8-3)!3!}=\frac{8!}{5!3!}. $$

Кількість способів вибрати $2$ фотографії з $6$ для сайту $$ C_6^2=\frac{6!}{(6-2)!2!}=\frac{6!}{4!2!}. $$

Кількість способів вибрати означені в умові фотографії знаходимо за комбінаторним правилом добутку:

$$ C_8^3\cdot C_6^2=\frac{8!}{5!3!}\cdot \frac{6!}{4!2!}=\frac{6\cdot 7\cdot 8\cdot 5\cdot 6}{2\cdot 3\cdot 2}=7\cdot 4\cdot 5\cdot 6=840. $$

Відповідь: $840.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14624

Завдання 952 з 2309

У прямокутній системі координат нa площині задано колінеарні вектори $\overrightarrow{AB}$ тa $\overrightarrow{a}(3; -5).$ Визначте абсцису точки $B$, якщо $A(-4; 1)$, a точка $B$ лежить нa прямій $y=3.$

Впишіть відповідь:

-5.2

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання поняття колінеарних векторів, координат вектора, уміння застосовувати вектори до розв'язування планіметричних задач.

За умовою задачі, $\overrightarrow{AB}\ ||\ \overrightarrow{a}.$

Нехай абсциса точки $B$ буде $x$, тоді точка $B(x; 3).$ Ордината дорівнює $3$ тому, що точка $B$ лежить на прямій $y=3.$

\begin{gather*} \overrightarrow{AB}(x+4; 2),\\[7pt] \overrightarrow{a}(3; -5). \end{gather*}

У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні, тому

\begin{gather*} \frac{x+4}{3}=\frac{2}{-5},\\[6pt] -5(x+4)=2\cdot 3,\\[7pt] -5x-20=6,\\[7pt] -5x=26,\\[7pt] x=-5\mathord{,}2. \end{gather*}

Відповідь: $-5\mathord{,}2.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14625

Завдання 953 з 2309

Задано функції $f(x)=x^3$ i $g(x)=4|x|.$

1. Побудуйте графік функції $f.$

2. Побудуйте графік функції $g.$

3. Визначте абсциси точок перетину графіків функцій $f$ i $g.$

4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій $f$ i $g.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Функції. Степенева та лінійна функції, їхні основні властивості. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей та графіків функцій, уміння будувати графіки елементарних функцій, застосовувати формулу Ньютона-Лейбниця для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

1. Побудуємо графік функції $f(x)=x^3.$

$x$	$0$	$1$	$2$	$-1$	$-2$
$y$	$0$	$1$	$8$	$-1$	$-8$

2. Побудуємо графік функції $g(x)=4|x|.$
при $x\ge 0$ будуємо $g(x)=4x.$

$x$	$0$	$3$
$y$	$0$	$12$

при $x\lt 0$ будуємо $g(x)=-4x.$

$x$	$0$	$-3$
$y$	$0$	$12$

3. Абсциси точок перетину графіків $f$ i $g$ знаходимо графічно $x=0$ та $x=2$, або як розв'язки рівняння $x^3=4|x|.$ При $x\ge 0$

\begin{gather*} x^3=4x,\\[7pt] x^3-4x=0,\\[7pt] x(x^2-4)=0,\\[7pt] x(x-2)(x+2)=0,\\[7pt] x=0\ \text{або}\ x=2\ \text{або}\ x=-2. \end{gather*}

Проміжку $x\in [0; +\infty)$ належать корені $x=0$ та $x=2.$

При $x\lt 0$

\begin{gather*} x^3=-4x,\\[7pt] x^3+4x=0,\\[7pt] x(x^2+4)=0,\\[7pt] x=0\ \text{або}\ x^2+4=0\ \text{немає коренів}. \end{gather*}

Отже, абсциси точок перетину графіків $f$ i $g$ $x_1=0$, $x_2=2.$

4. Площу фігури, обмеженої графіками функцій f i g знаходимо за допомогою визначеного інтеграла:

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_{0}^2(4x-x^3) dx=\left.\left(\frac{4x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right)\right|_0^2=\\[6pt] =\left.\left(2x^2-\frac{x^4}{4}\right)\right|_0^2=2\cdot 2^2-\frac{2^4}{4}-0=8-4=4\ \text{кв. од.} \end{gather*}

Відповідь: 3. $x_1=0$, $x_2=2.$
4. $4$ кв. од.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14626

Завдання 954 з 2309

У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ сторона основи $ABCD$ дорівнює $c$, a бічне ребро $SA$ утворює з площиною основи кут $\mathbf{\alpha}.$ Через основу висоти піраміди паралельно грані $ASD$ проведено площину $\mathbf{\beta}.$

1. Побудуйте переріз піраміди $SABCD$ площиною $\mathbf{\beta}.$

2. Обґрунтуйте вид перерізу.

3. Визначте периметр перерізу.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники. Піраміда. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознак паралельності прямої та площини, властивостей паралельних площин, кута між прямою та площиною, уміння будувати перерізи многогранників, властивостей правильної піраміди.

1. $SABCD$ – правильна піраміда, тому в основі лежить квадрат $ABCD$ і основа висоти є центром квадрата, тобто точкою перетину діагоналей.

Бічне ребро $SA$ утворює з площиною основи кут $\mathbf{\alpha}.$ $SO\ \perp\ (ABC)$, $SA$ – похила, $OA$ – проекція $SA$ на площину основи, тому

$\angle (SA, (ABC))=\angle SAO=\mathbf{\alpha}.$

Побудуємо переріз піраміди площиною $\mathbf{\beta}\ || (SAD).$ За властивістю паралельних площин паралельні площини $\mathbf{\beta}$ та $SAD$ перетинаються третьою, площиною $ABC$ по паралельних прямих, тому будуємо $EF\ ||\ AD$ через точку $O.$

$\mathbf{\beta}\ ||\ (ASD)$ та перетинаються площиною $(ASB)$ по паралельним прямим, тому будуємо $KE\ || SA$ (слід січної площини на $(ASB).$

$\mathbf{\beta}\ ||\ (ASD)$ перетинаються $(SCD)$ по $MF\ || SD.$ З'єднаємо точку $K$ та точку $M$, що належать $(BSC).$ $KMFE$ – шуканий переріз.

2. Точка $E$ – середина $AB$, $KE\ || SA$ за побудовою, тому $KE$ – середня лінія $\Delta SBA\rightarrow BK=KS.$

Точка $F$ середина $DC$, $MF\ || SD$ за побудовою, тому $MF$ – середня лінія $\Delta SDC\rightarrow CM=MS.$

У $\Delta BCS\ KM$ середня лінія, тому $KM\ ||\ BC$, $EF\ ||\ BC$ (за побудовою), $KM\ ||\ BC$ – тому $KM\ ||\ EF$ за ознакою паралельних прямих. Отже, $KMFE$ – трапеція.

$SABCD$ правильна піраміда, тому $\Delta SBA=\Delta SCD$, $KE=MT$ як відповідні середні лінії. Отже, $KMFE$ – рівнобічна трапеція.

3. $AB=c$, то діагональ квадрата $ABCD\ AC=c\sqrt{2}$, $AO=\frac 12AC=\frac{c\sqrt{2}}{2}.$

У $\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ).$

\begin{gather*} \angle A =\mathbf{\alpha}\\[6pt] SA=\frac{OA}{\cos\mathbf{\alpha}}=\frac{c\sqrt{2}}{2\cos \mathbf{\alpha}}\\[6pt] KE=\frac 12SA=\frac{c\sqrt{2}}{4\cos \mathbf{\alpha}}=MF.\\[6pt] EF=AD=c,\\[6pt] KM=\frac 12BC=\frac 12c. \end{gather*}

Знаходимо периметр трапеції:

\begin{gather*} P=EF+KM+2\cdot KE=c+\frac c2+2\cdot \frac{c\sqrt{2}}{4\cos\mathbf{\alpha}}=c+\frac c2+\frac{c\sqrt{2}}{2\cos \mathbf{\alpha}}=\\[6pt] =\frac{2c\cos \mathbf{\alpha}+c\cos \mathbf{\alpha}+c\sqrt{2}}{2\cos \mathbf{\alpha}}=\frac{c(2\cos \mathbf{\alpha}+\cos \mathbf{\alpha}+c\sqrt{2})}{2\cos \mathbf{\alpha}}=\\[6pt] =\frac{3\cos \mathbf{\alpha}+\sqrt{2}}{2\cos \mathbf{\alpha}}\cdot c. \end{gather*}

Відповідь: 3. $\frac{3\cos \mathbf{\alpha}+\sqrt{2}}{2\cos \mathbf{\alpha}}\cdot c.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14627

Завдання 955 з 2309

Розв’яжіть нерівність $$ \frac{\log_ax}{x^2+(a-4)x+4-2a}\le 0 $$ залежно від значень параметра $a.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, квадратні, раціональні, логарифмічні рівняння, нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні нерівності, розв'язувати рівняння, нерівності з параметрами.

Знаходимо ОДЗ: $$ \left\{\begin{array}{l} x\gt 0,\\ x^2+(a-4)x+4-2a\ne 0, \end{array}\right. $$ крім того, для параметра a є також обмеження: a > 0 та a ≠ 1 (a є основою логарифма).

Розв'яжемо квадратне рівняння

\begin{gather*} x^2+(a-4)x+4-2a=0,\\[7pt] D=(a-4)^2-4(4-2a)=a^2-8a+16-16+8a=a^2. \end{gather*}

За умови $a\gt 0$, $D\gt 0$ при будь-якому значенні $a.$

\begin{gather*} x_1=\frac{-1+4+a}{2}=2,\\[6pt] x_2=\frac{-a+4-a}{2}=\frac{4-2a}{2}=2-a. \end{gather*}

Отримали ОДЗ:

$$ \left\{\begin{array}{l} x\gt 0,\\ x\ne 2,\\ x\ne 2-a. \end{array}\right. $$

Знайдемо нулі функції, яка знаходиться в лівій частині нерівності.

\begin{gather*} \log_ax=0,\\[7pt] x=a^0=1. \end{gather*}

Розглянемо для кожного проміжку з області допустимих значень розв'язок нерівності.

\begin{gather*} 2-a\gt 0,\\[7pt] -a\gt 0,\\[7pt] a\lt 0. \end{gather*}

При $a\lt 0$ нерівність не має змісту, тому розв'язків немає.

II. \begin{gather*} 2-a=2,\\[7pt] a=0 \end{gather*} не має розв'язків.

III.

\begin{gather*} 1\lt 2-a\lt 2,\\[7pt] -1\lt -a\lt 0,\\[7pt] 0\lt a\lt 1. \end{gather*}

$x\in [1; 2-a)\cup (2; +\infty).$

IV.

\begin{gather*} 2-a=1,\\[7pt] -a=-1,\\[7pt] a=1. \end{gather*}

\begin{gather*} 0\lt 2-a\lt 1,\\[7pt] 1\lt a\lt 2. \end{gather*}

$x\in (0; 2-a)\cup [1; 2).$

VI.

\begin{gather*} 2-a=0,\\[7pt] a=2. \end{gather*}

$x\in [1; 2).$

VII.

\begin{gather*} 2-a\lt 0,\\[7pt] a\gt 2. \end{gather*}

$x\in [1; 2).$

Відповідь: при $a\in (0; 1)\ x\in [1; 2-a)\cup (2; +\infty)$;
при $a\in (1; 2)\ x\in (0; 2-a)\cup [1; 2)$;
при $a\in [2; +\infty)\ x\in [1; 2).$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14628

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(-1\)	\(-2\)
\(y\)	\(0\)	\(1\)	\(8\)	\(-1\)	\(-8\)

\(x\)	\(0\)	\(3\)
\(y\)	\(0\)	\(12\)

\(x\)	\(0\)	\(-3\)
\(y\)	\(0\)	\(12\)