Тренувальні мультитести

ТЕМА: Україна під час Другої світової війни (1939–1945 рр.). Україна в перші повоєнні роки (1945 – на початку 1950-х рр.)

Алгоритм виконання завдання такий.

Перший крок. Ідентифікація дає змогу визначити, що на фото зображені Симон Петлюра (позначено літерою «А»), Андрій Мельник («Б»), Євген Коновалець («В»), Роман Шухевич («Г»). Усі вони причетні до збройної боротьби за українську державність.

Наступний крок. Аналіз джерела. У тексті джерела виділяємо ключові слова-маркери (словосполучення-маркери) – «воїн Української Повстанської Армії», «боротися за повне визволення всіх українських земель та українського народу від загарбників і здобути Українську Самостійну Соборну Державу», які дозволяють визначити, що клятву давали бійці УПА. Серед визначених історичних постатей командувачем УПА був Р. Шухевич.

Відповідь – Г.

ТЕМА: Утвердження тоталітарного режиму в 1929–1939 рр.

Плакати, як зазначено в умові завдання, присвячені геноциду українського народу – Голодомору 1932–1933 рр. На це вказують дати, символічні зображення, написи.

Серед запропонованих символічних зображень слід визначити те, яке відображає народну пам’ять про одне із знарядь геноциду. Серед запропонованих зображень цій умові відповідає плакат В, на якому зображено п’ять колосків. Назву «закон про п’ять колосків» отримала постанова ЦВК і РНК СРСР «Про охорону майна державних підприємств, колгоспів та кооперації і зміцнення громадської (соціалістичної) власності», що вийшла 7 серпня 1932 р. Вона заклала нормативно-правову базу вчинення геноциду. Постанова «захищала» експропрійоване державою майно від колишніх власників – селян. Усе майно в колгоспах вважалося державною власністю. Постанову активно застосовували впродовж збору врожаю і хлібоздачі 1932 р.: вона передбачала жорстоке покарання за зрізані хоча б 5 колосків – 10 років ув’язнення до концентраційних таборів або розстріл.

Відповідь – В.

Отже, на фото зображено автопортрети Тараса Шевченка в різні роки його життя. Саме портрет під літерою Г був створений митцем відразу після викупу його з кріпацтва. Інші портрети були створені у більш зрілому віці: за часів перебування у Петербурзі і в засланні. До того ж знання портретного зображення під літерою Г передбачено Програмою ЗНО.

Відповідь – Г.

ТЕМА: Обмін речовин і перетворення енергії. Автотрофний і гетеротрофний типи живлення.

Завдання скеровано на перевірку вміння розпізнавати організми за типом живлення.

В умові завдання наведено зображення організмів, поміж яких потрібно вибрати автотрофний. Буквою А позначено молюска, Б – комаху, Г – представника грибів. Усі ці організми живляться готовими органічними речовинами, які синтезовано іншими організмами, тобто належать до гетеротрофних.

Буквою В позначено папороть – рослинний організм, який для свого живлення утворює органічні речовини з неорганічних на світлі за допомогою хлорофілу, тобто належить до автотрофних.

Правильна відповідь – В.

ТЕМА: Життєвий цикл мохоподібних.

У наведеній в основі завдання схемі життєвого циклу мохоподібних пропущеним складником є нестатеве покоління – спорофіт. Він розвивається внаслідок запліднення і представлений ніжкою з коробочкою, у якій дозрівають спори. Це покоління несамостійне, живиться за рахунок гаметофіту. На рисунку цей складник позначено буквою Б.

Правильна відповідь – Б.

ТЕМА: Автотрофні організми.

Для розв’язання завдання спочатку необхідно розпізнати зображені на рисунку об’єкти. Буквою А позначено хлоропласт – органелу, яка забезпечує фотосинтез в еукаріотичній клітині. Буквами Б, В й Г позначено організми, відповідно рослину (стрілицю), гриб (мухомор), тварину (дельфін). Поміж наведених організмів автотрофним є лише рослина.

Правильна відповідь – Б.

ТЕМА: Папоротеподібні (щитник чоловічий, страусове перо звичайне, сальвінія)

У схемі життєвого циклу папоротеподібних, що наведений в основі завдання, пропущеним складником є статеве покоління – гаметофіт. Він розвивається зі спори та має форму серцеподібної пластинки, що прикріплюється до ґрунту ризоїдами. На ньому утворюються органи статевого розмноження – архегонії та антеридії.

На рисунку цей складник позначено літерою А.

Правильна відповідь – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові, логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати рівняння з параметрами, що містять невідому в показнику степеня і в аргументі логарифма, з'ясовуючи умови існування розв’язку.

Запишімо ОДЗ: аргумент логарифма має бути додатним значенням.

ОДЗ:

Перенесімо \(-11x\) праворуч: \begin{gather*} 4a\gt 11x. \end{gather*}

Поділімо обидві частини нерівності на \(4{:}\) \begin{gather*} a\gt \frac{11x}{4}. \end{gather*}

Перейдімо до розв’язання рівняння. Добуток двох множників дорівнює нулю, коли хоча б один множник рівний нулю.

Запишімо, що перший множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 9^x-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Перепишімо перший доданок:

\begin{gather*} 9^x=(3^2)^x=3^{2x},\\[7pt] 3^{2x}-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Виконаймо заміну. Нехай \(3^x=t\), тоді \(3^{2x}=t^2{:}\)

\begin{gather*} t^2-8t-9=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} t_1+t_2=8,\\ t_1\cdot t_2=-9. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, \(t_1=9\), \(t_2=-1.\)

Повернімося до заміни \(3^x=t\) й замість \(t\) підставмо обчислені значення.

Підставимо \(9{:}\)

\begin{gather*} 3^x=9;\\[7pt] 3^x=3^2;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставимо \(-1{:}\)

\begin{gather*} 3^x=-1. \end{gather*}

\(3^x\) не може дорівнювати від’ємному числу, оскільки значення показникової функції \(y=a^x\) завжди більше за нуль:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Запишімо, що другий множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 5+\ln^2(4a-11x)=0;\\[7pt] \ln^2(4a-11x)=-5. \end{gather*}

Логарифм у степені \(2\) не може дорівнювати від’ємному значенню:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Підставмо обчислений корінь \(x=2\) в ОДЗ:

\begin{gather*} a\gt \frac{11\cdot 2}{4};\\[6pt] a\gt 5{,}5. \end{gather*}

Найменше натуральне значення, яке входить в отриманий проміжок, \(a=6.\)

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Геометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, пов'язані з обчислення об'єму циліндра, використовуючи перерізи стереометричних фігур.

Об’єм циліндра обчислімо за формулою: \begin{gather*} V=\pi\cdot R^2_\text{цил}\cdot h. \end{gather*}

З площі поверхні сфери обчислімо радіус сфери:

З умови завдання відомо, що радіус сфери дорівнює стороні квадрата \(ABCD{:}\)

За умовою завдання, у квадрат \(ABCD\) вписано основу циліндра, отже, діаметр основи циліндра дорівнює стороні квадрата:

Обчислімо радіус основи циліндра, поділивши його діаметр на \(2{:}\)

Обчислімо висоту циліндра, вона дорівнюватиме твірній \(GH\), яку можна визначити за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника \(GHE\ (\angle GHE=90^\circ){:}\)

Визначмо об’єм циліндра:

Поділімо знайдений об’єм на \(\pi\), як зазначено в умові завдання:

Відповідь: \(1152.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Імовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати означення ймовірності настання випадкової події для розв’язання практичних завдань.

Імовірність настання події \(A\) можна обчислити за формулою: \begin{gather*} P(A)=\frac mn, \end{gather*} де \(m\) – кількість сприятливих подій, \(n\) – кількість усіх рівноможливих подій.

За умовою, у перших чотирьох рядах є \(32\) місця – це кількість сприятливих подій, адже задано ймовірність, що водію дістанеться місце в першому із чотирьох рядів. Щоб визначити загальну кількість місць на паркувальному майданчику, треба помножити кількість рядів на кількість місць в одному ряді. Відомо, що всього на паркувальному майданчику \(n\) рядів, місць в одному ряді – \(8\), отже, усього \(8n\) місць – це кількість усіх рівноможливих подій, адже автоматична система може видати талон із будь-яким із цих місць.

Імовірність, що першому водієві зранку дістанеться місце в одному з перших чотирьох рядів, обчислімо за формулою: \begin{gather*} P(A)=\frac{32}{8\cdot n}. \end{gather*}

Підставмо відому за умовою імовірність: \begin{gather*} \frac 19=\frac{32}{8n}. \end{gather*}

Для зручності поміняймо частини утвореного рівняння місцями: \begin{gather*} \frac{32}{8n}=\frac 19. \end{gather*}

У лівій частині скоротімо дріб на \(8{:}\) \begin{gather*} \frac{4}{n}=\frac 19. \end{gather*}

Застосуймо перехресне множення й виразімо загальну кількість \(n\) рядів на парковці: \begin{gather*} n=\frac{4\cdot 9}{1}=36. \end{gather*}

Відповідь: \(36.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати похідну добутку двох функцій, одна з яких складена, визначати числове значення функції та похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

Обчислімо значення заданої функції в точці \(x=2\), для цього у функцію замість \(x\) підставмо \(2{:}\)

Визначмо похідну заданої функції за правилом добутку:

Звернімо увагу, що \(g(x)=(2x-1)^3\) – складена функція:

Обчислімо значення знайденої похідної в точці \(x=1\), для цього в похідну замість \(x\) підставмо \(1.\)

Обчислімо суму \(f(2)+f'(1){:}\)

Відповідь: \(116.\)

ТЕМА: Геометрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості, ознаки трикутників, чотирикутників, круга для розв’язання завдань із планіметрії.

1. Висота трикутника \(ACD\), задана за умовою завдання, дорівнює діаметру заданого півкруга. Обчислімо радіус цього півкруга:

Визначмо площу круга радіуса \(2\sqrt{3}{:}\)

Обчислімо площу половини півкруга радіуса \(2\sqrt{3}\), для цього поділімо обчислену площу круга на \(4{:}\)

Отже, правильна відповідь A.

2. Запишімо формулу висоти в рівносторонньому трикутнику: \begin{gather*} h=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Виразімо за допомогою перехресного множення довжину сторони трикутника \(ACD{:}\)

Обчислімо площу рівностороннього трикутника через висоту:

Отже, правильна відповідь B.

3. Сторона ромба \(DCKL\) дорівнює довжині сторони трикутника \(ACD.\) Висота ромба \(DCKL\) дорівнює довжині висоти трикутника \(ACD.\) Обчислімо площу ромба \(DCKL\) через висоту:

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні, показникові вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння спрощувати вирази й виконувати обчислення після підставлення значення.

Підставмо \(2\) в значення кожного виразу.

1. \(\frac 2a=2.\)

Представмо у вигляді дробу праву частину виразу, для цього допишімо в знаменнику \(1{:}\) \begin{gather*} \frac 2a=\frac 21. \end{gather*}

Визначмо \(a{:}\) оскільки чисельники дробів однакові, то, щоб ці дроби були рівними, мають бути однаковими і їхні знаменники: \begin{gather*} a=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь B.

2. \(16^a=2.\)

Перепишімо ліву частину виразу: \begin{gather*} 16^a=(2^4)^a=2^{4a};\\[7pt] 2^{4a}=2^1. \end{gather*}

Оскільки основи однакові в обох частинах, можемо їх відкинути, залишаться степені: \begin{gather*} 4a=1. \end{gather*}

Поділімо обидві частини утвореного рівняння на \(4{:}\) \begin{gather*} a=\frac 14. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь А.

3. \((a-1)^2-a^2=2.\)

Розкриймо дужку за формулою скороченого множення: \begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2;\\[7pt] a^2-2a+1-a^2=2. \end{gather*}

Зведімо подібні доданки: \begin{gather*} -2a+1=2. \end{gather*}

Перенесімо \(1\) праворуч: \begin{gather*} -2a=1. \end{gather*}

Поділімо обидві частини отриманого рівняння на \(-2{:}\) \begin{gather*} a=\frac{1}{-2}=-\frac 12. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, використовуючи перетворення графіків функцій.

1. Схематично зобразімо графік логарифмічної функції: \(y=log_a x\), основа якої більша за одиницю, отже, графік зростаючий. За умовою, перед усією функцією \(y=\log_3 x\) стоїть мінус, отже, графік відбивається симетрично відносно осі \(x.\) Отриманий графік лежить у першій і четвертій чвертях. Отже, правильна відповідь Г.

2. Зобразімо функцію \(y=|x|.\) За умовою, перед усією функцією \(y=|x|\) стоїть мінус, отже, графік відбивається симетрично відносно осі \(|x|.\) Оскільки до всієї функції \(y=-|x|\) додаємо \(4\), то паралельно переносимо графік функції \(y=-|x|\) на \(4\) одиниці вгору відносно осі \(y.\) Отриманий графік лежить в усіх чвертях. Отже, правильна відповідь Д.

3. Розкриймо дужки: \(-(x^2+2)=-x^2-2.\) Зобразімо функцію \(y=-x^2\) – це парабола вітками донизу. Оскільки від усієї функції \(y=-x^2\) віднімаємо \(2\), то паралельно переносимо графік функції \(y=-x^2\) на \(2\) одиниці вниз відносно осі \(y.\) Отриманий графік лежить у третій і четвертій чвертях. Отже, правильна відповідь В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Системи нерівностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи нерівностей, які містять дробово-раціональну і лінійну нерівності.

Розв’яжімо нерівності системи й визначмо перетин розв’язків.

\(\frac{x-2}{x+3}\ge 0.\)

Запишімо ОДЗ: знаменник не може дорівнювати нулю:

Використаймо метод інтервалів, для цього перенесімо знаменник у чисельник:

Визначмо нулі лівої частини нерівності, для цього ліву частину прирівнюймо до нуля:

Добуток двох множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із цих множників дорівнює нулю. Тому прирівнюємо кожен множник до нуля:

Накреслімо числову пряму, на якій точками позначмо обчислені нулі лівої частини нерівності: \(2\), \(-3.\)

Зауважмо: нерівність нестрога, тож точку, якою позначено на прямій значення \(2\), зафарбовуємо. За ОДЗ \(x\) не може дорівнювати значенню \(-3\), тому точку, яка його позначає на прямій, буде виколото.

Визначмо знаки на проміжках, які утворилися внаслідок розбиття числової прямої нулями лівої частини нерівності. Ліва частина нерівності була більшою за нуль, тому в розв’язку першої нерівності системи запишімо проміжки, на яких ліва частина нерівності набуває додатних значень:

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1.\) Зауважмо: якщо множимо нерівність на від’ємне число, то знак нерівності змінюємо на протилежний:

Отже, розв’язком цієї нерівності буде проміжок \([2; +\infty).\)

Позначмо на числовій прямій розв’язки обох нерівностей і визначмо їхній перетин:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння спрощувати тригонометричні вирази й визначати належність результату до числового проміжку.

Запишімо \(4\) як добуток: \begin{gather*} 2\cdot 2. \end{gather*}

З другого і третього доданка винесімо спільний множник 2 за дужку:

Використаймо формулу синуса подвійного аргумента:

Використаймо основну тригонометричну тотожність:

За формулами зведення:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати загальний вигляд первісних функції.

Перепишімо перші два доданки, винісши множники з їхніх чисельників: \begin{gather*} \frac{2}{\cos^2 x}=2\cdot \frac{1}{\cos^2 x};\\[6pt] \frac 3x=3\cdot \frac 1x. \end{gather*}

Тепер функція має такий вигляд:

Визначмо загальний вигляд первісних для цієї функції, проаналізувавши доданки:

1. Доданок \(2\cdot \frac{1}{\cos^2 x}\) – множник \(2\) залишмо без змін, первісна для \(\frac{1}{\cos^2 x}\) за таблицею первісних дорівнює \(\mathrm{tg}\ x\), тож маємо \(2\mathrm{tg}\ x.\)

2. Доданок \(3\cdot \frac 1x\) – множник \(3\) залишмо без змін, первісна для \(\frac 1x\) за таблицею первісних дорівнює \(\ln |x|\), тож \(3\ln |x|.\)

3. Доданок \(\cos x\) – первісна для \(\cos x\) за таблицею первісних дорівнює \(\sin x\) , тож маємо \(\sin x.\)

4. Доданок \(2\) – первісна від сталої \(2\) дорівнює \(2x.\)

Запишімо суму всіх доданків, які визначили в пунктах 1–4, у кінці додамо константу \(C\), бо за умовою треба визначити загальний вигляд первісних функції:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати складники та площу трапеції, використовуючи властивості подібних трикутників.

Проведімо висоту \(h_2\) трикутника \(AOD\), розмір якої треба визначити, висоту \(h_1\) трикутника \(BOC\), висоту \(h\) трапеції. Довжина останньої дорівнює сумі довжин висот трикутників:

За умовою завдання, \(ABCD\) – трапеція, тож її основи \(AD\) і \(BC\) паралельні. Трикутники \(BCO\) і \(DAO\) подібні за двома кутами: \(\angle AOD=\angle COB\) подібні як вертикальні, \(\angle OBC=\angle ODA\) подібні як внутрішні різносторонні при двох паралельних прямих \(AD\), \(BC\) і січній \(BD.\)

Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює їхньому коефіцієнту подібності \(k{:}\)

Відповідні сторони подібних трикутників відносяться одна до одної за обчисленим коефіцієнтом подібності: \begin{gather*} \frac{BC}{AD}=\frac 27. \end{gather*}

Довжина сторони \(AD\) відома за умовою завдання й дорівнює \(28\), підставмо її в знаменник правої частини:

За умовою завдання площа трапеції \(S_{ABCD}=405\) см\(^2.\) Запишімо формулу для обчислення площі трапеції:

Визначмо довжину середньої лінії трапеції:

З площі трапеції обчислімо її висоту:

Висоти трикутників \(BCO\) і \(DAO\) пропорційні за коефіцієнтом подібності \(k.\) Нехай коефіцієнтом відношення буде \(x\) тоді \(h_1=2x\), \(h_2=7x.\) Сума довжин висот трикутників дорівнює довжині висоти трапеції, яку вже обчислено:

Висота трикутника \(DAO\) дорівнює \(7x\), тож маємо помножити \(7\) на щойно обчислене значення \(x{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння з модулем.

Оскільки у лівій частині рівняння \begin{gather*} |4x-1|=5 \end{gather*} є модуль, а в правій – додатне число, розкриймо модуль за схемою: рівняння вигляду \(|f(x)|=a\), де \(a\gt 0\), рівносильне сукупності двох рівнянь \(f(x)=a\) або \(f(x)=-a.\)

Отже, рівняння \(|4x-1|=5\) рівносильне сукупності рівнянь: \begin{gather*} 4x-1=5\ \text{або}\ 4x-1=-5. \end{gather*}

Розв’яжімо перше рівняння із сукупності: \begin{gather*} 4x-1=5. \end{gather*}

Перенесімо \(-1\) праворуч, змінивши знак на протилежний: \begin{gather*} 4x=5+1;\\[7pt] 4x=6. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на \(4{:}\) \begin{gather*} x=\frac 64;\\[6pt] x=1{,}5. \end{gather*}

Розв’яжімо друге рівняння із сукупності: \begin{gather*} 4x-1=-5. \end{gather*}

Перенесімо \(-1\) праворуч, змінивши знак на протилежний: \begin{gather*} 4x=-5+1;\\[7pt] 4x=-4. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на \(4{:}\) \begin{gather*} x=\frac{-4}{4};\\[6pt] x=-1. \end{gather*}

На вимогу завдання у відповіді треба зазначити суму всіх визначених коренів. Оскільки маємо два корені рівняння, додамо їх:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Многогранники. Координати та вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку просторової уяви, уміння визначати відстані між двома точками з відомими координатами, знання властивостей піраміди.

Апофема – це висота бічної грані правильної піраміди.

Проведімо апофему \(SK\), довжину якої треба визначити на вимогу задачі.

Побудуймо висоту піраміди \(SO.\) Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то її основою є квадрат, а основа висоти піраміди (точка \(O\)) проєктується в центр квадрата (точку перетину його діагоналей).

За рисунком основа піраміди лежить у координатній площині \(xy\), тож висота \(SO\) піраміди дорівнюватиме модулю координати \(z\) вершини \(S\) піраміди \begin{gather*} SO=|z|=11. \end{gather*}

З’єднаймо основу висоти піраміди (точку \(O\)) з основою проведеної апофеми (точкою \(K\)). Відрізок \(OK\) – перпендикуляр до ребра \(CD\), на якому лежить точка \(K.\) За умовою ребро \(CD\) лежить на осі \(x.\) Відстань від точки \(O\) до осі \(x\) дорівнюватиме модулю координати y точки \(O\), яка збігається з координатою \(y\) вершини \(S{:}\) \begin{gather*} OK=|y|=|-4|=4. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(SOK\) \((\angle SOK=90^\circ)\), у якому: довжина катета \(SO\) дорівнює \(11\), довжина катета \(OK\) дорівнює \(4\), довжина гіпотенузи \(SK\) невідома. Використаймо теорему Піфагора, щоб визначити довжину гіпотенузи \(SK{:}\)

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі.

Складімо таблицю.

Нехай уся робота \((A)\), яку треба виконати (нарізати всі продукти для салату), буде одиницею \((1).\)

У стовпчик із часом запишімо відомий час, за який мама і тато окремо самотужки нарізають всі продукти. Час, за який мама і тато разом нарізають всі продукти, позначмо \(x.\)

Продуктивність \((N)\) – це відношення роботи, яку треба виконати, до часу, за який цю роботу виконано: \begin{gather*} N=\frac At. \end{gather*}

Сума індивідуальної продуктивності мами й індивідуальної продуктивності тата дорівнюватиме їхній спільній продуктивності, тож складімо рівняння: \begin{gather*} \frac 13+\frac 16=\frac 1x. \end{gather*}

У лівій частині зводимо дроби до спільного знаменника: \begin{gather*} \frac 26+\frac 16=\frac 1x;\\[6pt] \frac 36=\frac 1x. \end{gather*}

У лівій частині скоротімо дріб на \(2\), для цього і чисельник, і знаменник дробу розділімо на \(2{:}\) \begin{gather*} \frac 12=\frac 1x. \end{gather*}

Чисельники дробів однакові. Щоб ці дроби були рівними, мають бути однаковими їхні знаменники: \begin{gather*} x=2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на вміння використовувати степеневі властивості й основну логарифмічну тотожність для спрощення виразів.

Використаймо властивість степенів:

Запишімо \(25\) як \(5^2{:}\) \begin{gather*} (5^2)^{\log_5 2}\cdot 25. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\), щоб розкрити дужки:

Запишімо число \(2\), на яке множимо логарифм, у степінь аргумента цього логарифма, використавши тотожність:

Використаймо основну логарифмічну тотожність:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутних рівнобедрених трикутників.

I. Трикутник \(ABC\) прямокутний \((\angle C=90^\circ)\), тож сума його гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\) Оскільки трикутник \(ABC\) також рівнобедрений, то \(\angle A=\angle B=45^\circ.\) Відповідно жоден кут цього трикутника не може дорівнювати \(50^\circ.\) Твердження неправильне.

II. Трикутник \(ABC\) прямокутний \((\angle C=90^\circ)\) і рівнобедрений \((AC=BC)\), тож бісектриса кута \(C\), проведена до гіпотенузи, також є висотою і медіаною. Медіана, проведена до гіпотенузи в прямокутному трикутнику, дорівнює половині гіпотенузи й радіусу кола, описаного навколо цього трикутника. Твердження правильне.

III. Трикутник \(ABC\) прямокутний \((\angle C=90^\circ)\), тож висота, проведена з гострого кута \(A\), дорівнює довжині сторони \(AC\), висота, проведена з гострого кута \(B\), дорівнює довжині сторони \(BC.\) Трикутник \(ABC\) також рівнобедрений \((AC=BC)\), тому висоти, проведені з його гострих кутів, теж рівні. Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні функції та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити область визначення логарифмічної функції.

Розв’яжімо нерівність методом інтервалів: \begin{gather*} x^2-12x+11\gt 0. \end{gather*}

Визначмо нулі лівої частини нерівності. Для цього ліву частину прирівняймо до нуля: \begin{gather*} x^2-12x+11=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта: \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=-b,\\ x_1\cdot x_2=c. \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=12,\\ x_1\cdot x_2=11. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, \(x_1=11\), \(x_2=1\), оскільки сума чисел \(11\) й \(1\) дорівнює \(12\), а їхній добуток становить \(11.\)

Накреслімо числову пряму, на якій виколотими точками, оскільки нерівність строга, позначмо нулі лівої частини нерівності: \(1\), \(11.\)

Визначмо знаки на проміжках, які утворилися внаслідок розбиття числової прямої нулями лівої частини нерівності. Оскільки ліва частина нерівності за умовою завдання більша за нуль, то у відповіді запишемо проміжки, на яких ліва частина нерівності набуває додатних значень:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати взаємне розміщення площин у просторі.

А Площини перетинаються по прямій \(MK{:}\)

Б Площини перетинаються по прямій \(ML{:}\)

\begin{gather*} ABC\cap MKN=ML. \end{gather*}

B Площини перетинаються по прямій \(PQ{:}\)

\begin{gather*} B_1D_1D\cap MKN=PQ. \end{gather*}

Г Продовживши зображення площин, можна побачити, що вони перетинаються по прямій \(GF{:}\)

\begin{gather*} AA_1B_1\cap MKN=GF. \end{gather*}

Д Площини \(AA_1C_1\) та \(MKN\) паралельні:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння.

Перетворімо \(\left(\frac 12\right)^{x+3}\) на \((2^{-1})^{x+3}\), скориставшись формулою \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\)

За властивістю степеня:

У лівій частині за властивістю степенів \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\) розкриймо дужки, для цього перемножмо степені в дужках і за дужками:

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(2\)), можемо їх відкинути, залишаться степені: \begin{gather*} -x-3=\frac 23. \end{gather*}

У цьому лінійному рівнянні перенесімо \(-3\) праворуч, змінивши знак мінус на знак плюс: \begin{gather*} -x=3+\frac 23;\\[6pt] -x=3\frac 23. \end{gather*}

Домножмо обидві частини рівняння на \(-1{:}\) \begin{gather*} x=-3\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості чотирикутника, у який можна вписати коло.

Периметр чотирикутника – це сума довжин усіх його сторін:

Обчислімо суму довжин двох відомих протилежних сторін заданого чотирикутника:

Відомо, що в цей чотирикутник вписано коло. У чотирикутник можна вписати коло тоді й лише тоді, коли суми його протилежних сторін рівні:

Тоді сума двох інших протилежних сторін \(BC\) й \(AD\) заданого чотирикутника також дорівнюватиме \(27\) см:

Уже відомі суми протилежних сторін чотирикутника: \(AB\), \(CD\) і \(BC\), \(AD.\) Щоб обчислити його периметр, треба додати дві відомі суми:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати комбінаторне правило множення для розв’язання практичних задач.

Усього є \(10\) цифр: \(0\); \(1\); \(2\); \(3\); \(4\); \(5\); \(6\); \(7\); \(8\); \(9.\)

Відомо, що на першому місці в числі може стояти будь-яка цифра, але не нуль. Є дев’ять цифр, які відповідають цій умові: \(1\); \(2\); \(3\); \(4\); \(5\); \(6\); \(7\); \(8\); \(9.\) Отже, маємо \(9\) варіантів вибору першої цифри.

На другому місці може стояти парна цифра. Усього є п’ять парних цифр: \(0\); \(2\); \(4\); \(6\); \(8.\) Отже, для вибору другої цифри є п’ять варіантів.

На третьому місці може стояти будь-яка цифра. Оскільки вже визначили, що всього є десять цифр, то маємо десять варіантів вибору третьої цифри.

На четвертому місці може стояти будь-яка цифра, тож маємо десять варіантів вибору четвертої цифри.

Треба вибрати цифру і для першого місця в числі, і для другого, і для третього, і для четвертого. Тому кількості варіантів маємо перемножити за правилом добутку, оскільки є сполучник і:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Перенесімо \(\frac{b^2}{2c}\) ліворуч, \(a\) – праворуч: \begin{gather*} -\frac{b_2}{2c}=-b-a. \end{gather*}

Домножмо обидві частини на \(-1{:}\) \begin{gather*} \frac{b_2}{2c}=b+a. \end{gather*}

Представмо у вигляді дробу праву частину \(b+a\), для цього допишімо в знаменнику \(1{:}\) \begin{gather*} \frac{b_2}{2c}=\frac{b+a}{1}. \end{gather*}

Застосуймо перехресне множення: \begin{gather*} 2c(a+b)=b^2. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(2(a+b){:}\) \begin{gather*} c=\frac{b^2}{2(a+b)}. \end{gather*}

Розкриймо дужки в знаменнику, для цього \(2\) помножмо на кожен доданок у дужках. \begin{gather*} \frac{b^2}{2(a+b)}=\frac{b^2}{2a+2b}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Клас Ссавці. Загальна характеристика. Особливості зовнішньої та внутрішньої будови

Для виконання завдання необхідні знання систематики тварин типу Хордові.

Клас Ссавці – це високоорганізовані представники типу Хордові.

Визначальною ознакою ссавців є вигодовування своїх малят молоком, яке виробляють особливі молочні залози. Ці тварини опанували основні середовища життя на нашій планеті: наземно-повітряне, водне та ґрунт. Дихають ці тварини за допомогою легень. Ссавці здебільшого народжують цілком сформованих малят, які отримували поживні речовини під час перебування в організмі матері через плаценту. Але серед них є і яйцекладні.

До яйцекладних ссавців належить лише один ряд – Однопрохідні. Однопрохідні мають ознаки, які відрізняють їх від більшості ссавців. Тому їх виділяють в окремий підклас – Першозвірі. Подібно до плазунів, першозвірі розмножуються, відкладаючи яйця. У них немає плаценти. На рисунку тварина, що належить до цього підкласу, позначена літерою Б – це качкодзьоб.

Правильна відповідь – Б.

ТЕМА: Многогранники. Піраміда.

Завдання спрямоване на перевірку знань про піраміду та її елементи.

У піраміді \(SABCD{:}\)

\(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) – бічні ребра;

\(AB\), \(BC\), \(CD\), \(AD\) – ребра основи.

Отже, \(HD\) є ребром основи.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв'язувати рівняння з параметром.

Знайдемо дискримінант рівняння:

Додатне значення \(m\), при якому рівняння має два різних кореня \(m\gt 6.\)

За теоремою Вієта і враховуючи умову завдання:

Підставмо значення \(x_2\) у друге рівняння:

\begin{gather*} (m-5+6)(m-5)=16;\\[7pt] (m+1)(m-5)=16;\\[7pt] m^2-5m+m-5-16=0;\\[7pt] m^2-4m-21=0. \end{gather*}

Корені рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} m_1=7,\\ m_2=-3\ne m\gt 6. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, додатне значення \(m=7.\)

Відповідь: \(7.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Осьовим перерізом циліндра \(ABCD\) є квадрат. \(AB=BC=CD=AD=6\) см.

Відповідь: \(36.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати задачі, використовуючи комбінацї та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу комбінацій:

оскільки порядок вибору квітів у букеті не має значення.

Виберімо \(4\) білі троянди з \(13\) наявних.

Використаймо формулу:

Виберімо \(1\) жовту троянду з \(8\) наявних.

Тут усе просто: вибрати \(1\) об'єкт із \(8\) наявних можна \(8\) способами:

Оскільки нам треба вибрати \(4\) білі й \(1\) жовту троянду одночасно, кількість варіантів такого вибору визначмо за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(5720.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання означення первісної.

За означенням, якщо \(F(x)\) є первісною для \(f(x)\), то похідна від первісної дорівнює самій функції: \begin{gather*} F'(x)=f(x). \end{gather*}

Для цього обчислімо похідну від заданої функції \(F(x)=4x^3-3x^2+9{:}\)

Тепер підставмо число \(2\) замість \(x\) у цю формулу функції:

Відповідь: \(36.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. Довжина сторони \(AB.\) У прямокутному трикутнику \(ABD\) за означенням тангенса:

Отже, правильна відповідь – А.

2. Довжина сторони \(AD.\) У прямокутному трикутнику \(ABD\) за означенням синуса:

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Довжина діагоналі \(AC.\) Для обчислення довжини другої діагоналі паралелограма скористаймося теоремою косинусів для трикутника \(ABC.\)

У паралелограма сума сусідніх кутів становить \(180^\circ\), тому

За теоремою косинусів:

Оскільки \(\cos 120^\circ=-\frac 12\),

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, заданих формулою.

1.

Графік функції \(y=x+4\) не має жодної спільної точки із заданим колом. Отже, правильна відповідь – А.

2.

Графік функції \(y=x^2-2\) має три спільні точки із заданим колом. Отже, правильна відповідь – Г.

3.

Графік функції \(y=4^x\) має дві спільні точки із заданим колом. Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – В.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. \(\cos \frac{\pi}{2}=0.\)

Число \(0\) належить проміжку \((-\infty; 0].\) Отже, правильна відповідь – А.

2. \(\pi\approx 3{,}14\)

Число \(1{,}86\) належить проміжку \((0; 2).\) Отже, правильна відповідь – Б.

3. Оскільки \(\pi\gt 3\), то

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою \(O\) навпіл, трикутник \(\Delta AOD\) – рівнобедрений. Проведімо висоту \(OH\) до основи \(AD.\) Вона буде також бісектрисою і медіаною.

У прямокутному трикутнику \(\Delta AOH{:}\)

Обчислімо периметр прямокутник \(ABCD{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії та вміння застосовувати її для розв’язування задач.

Геометричну прогресію задано формулою:

Обчислімо четвертий член цієї прогресії:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати вектора на площині.

Якщо \(K(x_1; y_1; z_1)\), \(L(x_2; y_2; z_2)\), то координати вектора \(\overrightarrow{KL}(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки:

Помножмо перше рівняння на \(4{:}\)

Підставмо \(x=12y-4\) в друге рівняння:

Обчислімо \(x{:}\)

Отже, розв'язком системи є пара чисел \((2; 0{,}5){:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формули скороченого множення – різницю квадратів і квадрат суми:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція \(y=f(x)\) зростає на проміжку, якщо для будь-яких \(x_1\lt x_2\) із цього проміжку виконується нерівність:

Графічно це ділянка, що підіймається зліва направо, тобто графік «йде вгору» за руху вздовж осі \(Ox\) у напрямку зростання \(x.\)

Отже, функція \(y=f(x)\) зростає для \(x\in [-3; 1].\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей рівнобедрених трикутників.

У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, водночас є медіаною і висотою.

I. \(AB+BC=AC\) – неправильно (сума двох сторін завжди більша за третю).

II. \(BK\ \perp\ AC\) – правильно (бісектриса є висотою).

III. \(AK=KC\) – правильно (бісектриса є медіаною).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати квадратні рівняння.

Більший корінь \(2{,}5\) належить проміжку \((0; 3].\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання формули для обчислення об’єму циліндра й уміння її застосовувати.

Об'єм циліндра обчислімо за формулою:

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють \(R.\)

Підставмо у формулу замість висоти циліндра \(H\) радіус \(R\) його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання ознак подільності чисел, уміння розв'язувати задачі на відношення та пропорції.

Відношення кількості диванів і крісел: \(1:2.\)

Якщо диванів \(x\), а крісел \(2x\), то разом їх:

Загальна кількість диванів і крісел є числом, кратним \(3.\)

За ознакою подільності число ділиться на \(3\) тоді й тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на \(3.\)

Відповідь: А.

ТЕМА: Логарифмічні вирази та перетворення їх.

Завдання скеровано на перевірку знання означення та властивостей логарифма, модуля числа.

За означенням логарифма:

За властивістю логарифмів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу.  Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену на діаграмі.

Відношення кількості столів до кількості стільців: \(1:3.\)

Це означає, що на \(1\) стіл припадає \(3\) стільці.

Усього частин:

Частка столів: \(\frac 14\) від усього кола.

У градусах це:

\begin{gather*} 360^\circ : 4=90^\circ\ (\text{прямий кут}). \end{gather*}

Частка стільців: \(\frac 34\) від усього кола (решта \(270^\circ\)).

Отже, вибираємо діаграму, де темний сектор (столи) становить чверть кола (прямий кут) – варіант відповіді Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Чотирикутники. Коло.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, уміння обчислювати його периметр.

Діаметр кола дорівнює стороні квадрата, у яке воно вписане.

Оскільки діаметр дорівнює двом радіусам \((d=2r)\), то сторона квадрата

Периметр квадрата дорівнює сумі всіх його чотирьох сторін:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні нерівності, знання властивостей нерівностей.

\begin{gather*} x\in \left(-\infty; -\frac 14\right). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Синтаксис. Головні члени речення.

Завдання перевіряє вміння визначати головні члени речення.

Підмет – це головний член речення, який означає предмет (особу, явище, поняття), про який ідеться в реченні, і відповідає на питання хто? або що?. Роль підмета виконує виділене в тексті слово автотранспорт.

Правильна відповідь: Д.

ТЕМА: Синтаксис. Типи речень.

Завдання перевіряє вміння розпізнавати типи простих і складних речень.

Речення «Спочатку перегони проводили на дорогах загального користування, вони були більше випробуванням надійності та швидкості техніки, ніж спортивним заходом» має дві граматичні основи. Отже, це речення є складним (безсполучникове речення, частини якого з’єднуються в одне смислове та граматичне ціле за допомогою інтонації).

Правильна відповідь: А.

ТЕМА: Синтаксис. Розділові знаки в простому реченні.

Завдання перевіряє вміння добирати потрібні розділові знаки в реченні й пояснювати вживання їх.

Пунктуаційна помилка є в реченні, позначеному колом: кому треба поставити після слова Ле-Ман. Зверніть увагу, що уточнення як-от Індіанаполіс і Ле-Ман відокремлюємо комами.

Правильна відповідь: Г.

ТЕМА: Синтаксис. Відокремлені члени речення.

Завдання перевіряє вміння розпізнавати відокремлені члени речення, зокрема обставини, виражені дієприслівником або дієприслівниковим зворотом, а також уміння бачити їхню інтонаційну та пунктуаційну роль у структурі вислову.

Згадаймо, відокремлена обставина – це другорядний член речення, що виражається дієприслівником або дієприслівниковим зворотом, виділяється інтонацією та комами для підсилення смислу.

Відокремлена обставина, виражена дієприслівниковим зворотом, є в реченні, позначеному квадратом: збираючи найкращих перегонників і команди з усього світу.

Правильна відповідь: Б.

ТЕМА: Розвиток мовлення. Текст. Основні ознаки тексту. Логічна послідовність. Зв’язність і точність мовлення.

Завдання перевіряє вміння працювати з деформованим текстом, виявляти зв’язки між фактами й думками, відновлювати початкову послідовність і далі працювати з таким текстом, досліджувати його.

Обов’язково треба звертатися до тексту, виконуючи завдання, з'ясувати, які засоби міжфразового зв’язку використано в тексті (займенники, лексичний повтор, прислівники, граматичні засоби, вставні слова тощо).

Речення з позначкою-трикутником є початковим реченням деформованого тексту. Тут зазначено, із чого розпочалася історія автоспорту.

Речення із символом-трапецією розповідає про те, на яких дорогах проводили перші перегони.

Наступним є речення, позначене ромбом: тут ідеться про те, коли автоспорт став набувати все більшої популярності. 

Далі йде речення із символом-колом, у ньому розповідається про перші спеціалізовані перегонові траси.

І останнім має бути речення, позначене  квадратом, тут названо найпрестижнішу серію автоперегонів у світі.

Правильна відповідь: Д.

ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола, круга та їхніх елементів, властивостей прямокутника.

Оскільки діаметри кола та півкола дорівнюють стороні \(AB=8\) см, маємо дві фігури однакового радіуса:
радіус кола \((R){:}\) \begin{gather*} R=\frac{AB}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}; \end{gather*} радіус півкола \((r){:}\) \begin{gather*} r=\frac{CD}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}. \end{gather*}

1.

Коло та півколо мають лише одну спільну точку (дотикаються зовні).

Отже, правильна відповідь – Б.

2.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta OCO_1\ (\angle O_1=90^\circ){:}\)

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

3.

Розгляньмо чотирикутник \(AOO_1D\) – прямокутну трапецію \((AD\ ||\ OO_1\), \(O_1D\ \perp\ AD).\) Відстань від середини \(AB\) до сторони \(O_1D\) є середньою лінією трапеції \(AOO_1D{:}\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

Два числа називають протилежними, якщо їхня сума дорівнює нулю (наприклад, \(5\) і \(-5\)). Отже, для коренів рівняння має виконуватися умова: \begin{gather*} x_1+x_2=0. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком: \begin{gather*} x_1+x_2=-p. \end{gather*}

У рівнянні

зведімо подібні доданки:

Коефіцієнт:

Отже, має виконуватися умова:

Отримуємо два значення: \(a=1\) та \(a=-5.\)

Перевірка існування коренів (дискримінант): числа є коренями рівняння, якщо дискримінант \(D\ge 0.\)

Оскільки за \(x_1+x_2=0\) рівняння набуває вигляду \(x^2+q=0\), то корені існують, якщо \(q\le 0.\)

Якщо \(a=1{:}\) \(q=a+2=1+2=3\gt 0.\) Рівняння \(x^2+3=0\) не має дійсних коренів, тобто \(a=1\) не підходить.

Якщо \(a=-5{:}\) \(q=a+2=-5+2=-3\lt 0.\) Рівняння \(x^2-3=0\) має корені \(\sqrt{3}\) та \(-\sqrt{3}.\) Тож \(a=-5\) підходить.

Оскільки умову задовольняє лише одне значення \(a=-5\), то сума значень дорівнює самому числу \(-5.\)

Відповідь: \(-5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати площу діагонального перерізу призми.

Основою призми є паралелограм зі сторонами \(AB = 8\) і \(AD = 15\), \(\angle A = 60^\circ.\)

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є висота призми та діагональ основи.

Невідомий діагональний переріз меншої площі буде побудовано на меншій діагоналі основи. У паралелограмі менша діагональ завжди лежить навпроти гострого кута. Отже, треба визначити довжину діагоналі \(BD.\)

Розгляньмо трикутник \(ABD.\) За теоремою косинусів:

Меншим діагональним перерізом є прямокутник \(DBB_1D_1\) зі сторонами \(BD = 13\) см і висотою \(BB_1 = 20\) см.

Обчислімо його площу \(S{:}\)

Відповідь: \(260.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

І. Для замовлення одного автобуса у виконавця є \(8\) різних автобусів. Оскільки треба вибрати лише один, то кількість способів зробити це дорівнює кількості автобусів: \begin{gather*} N_1=8. \end{gather*}

ІІ. Для замовлення двох мікроавтобусів у виконавця є \(6\) різних мікроавтобусів. Нам треба вибрати два з них. Оскільки порядок вибору не має значення (просто потрібні дві машини), скористаймося формулою для комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можлих:

Отже, існує \(15\) способів вибрати два мікроавтобуси.

За правилом додавання (оскільки ми вибираємо або перший варіант, або другий), додаємо отримані результати:

Усього існує \(23\) варіанти вибору машин.

Відповідь: \(23.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*} де \(f(x)\) – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а \(g(x)\) – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

З рисунка видно, що графіки функцій перетинаються у двох точках: \((0; 0)\) – точка початку координат; точка \((4; 6).\)

Отже, межі інтегрування – від \(0\) до \(4.\)

Графік функції \(y=3\sqrt{x}\) проходить вище за пряму \(y=\frac 32x.\)

Обчислімо площу зафарбованої фігури: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^4 \left(3\sqrt{x}-\frac 32x\right)\ dx, \end{gather*}

Первісна для кожної частини:

Застосуймо формулу Ньютона -Лейбніца:

де \(f(x)\) – це неперервна функція на проміжку \([a; b]\), а \(F(x)\) – її перевісна.

Відповідь: \(4.\)

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Графік функції \(y=7x+4\) перетинає вісь у точці з ординатою \(4.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Функція \(y=-\frac 7x\) непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, правильна відповідь – B.

3. \(y=\log_{0{,}5}(x-4)\) – логарифмічна функція, \(y=\log_a x\) спадна на всій області визначення, якщо \(a\in (0; 1).\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних виразів, степеня з натуральним показником.

1. Якщо \(n\sin m\pi=a\), то...

Для будь-якого цілого числа \(k\ \sin k\pi=0.\) Оскільки \(m\) – натуральне число, то \(\sin m\pi\) завжди дорівнює нулю. Тоді \(a=n\cdot 0=0.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Якщо \(\frac{2^m}{2^n}=2^a\), то...

Скористаймося властивістю \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}{:}\)

Звідси \(a=m-n.\)

Отже, правильна відповідь – B.

3. Якщо \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{2}}=\sqrt[a]{2}\), то...

Скористаймося властивістю \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[n\cdot m]{x}\ \ {:}\)

Звідси \(a=n\cdot m=mn.\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – А.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена.

За означенням геометричної прогресії, кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник:

Тепер можемо обчислити значення другого члена прогресії:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення паралелограма, ознак подібності трикутників для розв'язання планіметричних задач.

Розгляньмо трикутники \(\Delta AOK\) та \(\Delta COB{:}\)
\(\angle KAO=\angle BCO\) як внутрішні різносторонні при паралельних прямих \(BC\ ||\ AD\) та січній \(AC\);
\(\angle BOC=\angle KOA\) як вертикальні кути.

Отже, \(\Delta BOC\) подібний \(\Delta KOA\) за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

Відповідь: Д.