ТЕМА: Показникові рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи показникових рівнянь та їх систем, рівнянь із параметром.

Помножмо перше рівняння системи на \((-3)\) і додаймо почленно обидва рівняння:

Щоб система мала хоча б один розв'язок, рівняння \(y^2=3-4a\) повинно мати розв'язок, а це буде за умови

Помножмо перше рівняння системи на \((-2)\) і додаймо почленно рівняння:

рівняння буде мати корені за умови \begin{gather*} 5a\gt 0,\\[7pt] a\gt 0. \end{gather*}

Отже, система матиме розв'язок, якщо \(a\in (0; 0\mathord{,}75].\) Найбільше значення \(a=0\mathord{,}75.\)

Відповідь: \(0\mathord{,}75.\)

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній, текстовій формі.

Необхідно знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності: \begin{gather*} 35\lt\ \text{кількість глядачів}\lt 43. \end{gather*}

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку \(35\), але нижчим за позначку \(43.\)

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\) (\(55 \gt 43\) – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик точно на рівні \(40.\) Число \(40\) більше за \(35\) і менше за \(43\) \((35 \lt 40 \lt 43).\) Цей варіант відповідає умові завдання.

Жовта зала: стовпчик на позначці \(35.\) (А глядачів має бути більше, тому не підходить).

Зелена зала: стовпчик на позначці \(20.\) (\(20 \lt 35\) – не підходить).

\(Фіолетова зала\): стовпчик на позначці \(45.\) (\(45 \gt 43\) – не підходить).

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від \(35\) до \(43\), – блакитна.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Вертикальні кути. Суміжні кути.

Завдання спрямовано на перевірку знань про суміжні та вертикальні кути як основні геометричні фігури на площині.

Суміжними називають два кути, у яких одна сторона спільна, а інші є доповняльними променями. На рис. 1 кути \(AOC\) та \(COB\) суміжні.

Рис. 1

Сума суміжних кутів дорівнює \(180^\circ.\) Оскільки в умові міру кута наведено в радіанах, скористаймось еквівалентом: \begin{gather*} \alpha+\beta=\pi. \end{gather*}

Відомо, що кут \begin{gather*} \alpha=\frac{\pi}{5}. \end{gather*}

Щоб визначити міру кута \(\beta\), віднімімо від \(\pi\) відомий кут: \begin{gather*} \beta=\pi-\frac{\pi}{5}. \end{gather*}

Зведімо до спільного знаменника:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосуймо властивості логарифмів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання спрямоване на перевірку навичок розв’язання лінійних нерівностей і застосування властивостей числових нерівностей.

\begin{gather*} x\in (-\infty; -3]. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

За умовою, точка \((x_0; -2)\) належить графіку функції \(y=f(x)\), отже, за заданого значення аргумента \(x\) значення функції \(f(x_0)=-2.\) На осі ординат \((Oy)\) вибираємо значення \(-2.\) Проводимо пряму, паралельну осі абсцис, від точки із координатою \((0; -2)\) до перетину з графіком. Абсциса точки перетину дорівнює \(-3\), отже, \(x_0=-3.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, зокрема на відношення.

Пляшку об'ємом \(750\) мл заповнили на \(\frac 23.\) Щоб обчислити цей об'єм, помножмо загальний об'єм на дріб:

Отже, спочатку в пляшці було \(500\) мл соку.

За умовою, з пляшки відлили \(150\) мл соку:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати в просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Точка \(N\) належить осі \(Oz\) прямокутної системи координат у просторі й розташована вище (див. рисунок) за початок координат – точку \(O(0; 0; 0).\) Тобто координати точки \(N\ x\) та \(y\) дорівнюють нулю, а координата \(z\) є додатною: \(N(0; 0; z_N).\)

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді А.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формули скороченого множення:

Відповідь: Б.