ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Корені рівняння: якщо \(k=1\), \(x=-\pi+4\pi=3\pi.\)

Серед запропонованих варіантів відповіді є цей корінь.

Відповідь: B.

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона - Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*} де \(f(x)\) – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а \(g(x)\) – функція, графік якої обмежує фігуру знизу. \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x)\ dx. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Лінійні й раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

ОДЗ: \(x\ne 0.\)

Розв’яжімо методом підставлення:

\((-2; -6)\) – розв'язок системи.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

Помножмо дріб на \(\sqrt{5}\), щоб позбутися ірраціональності в знаменнику:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей паралелограма й теореми синусів.

У паралелограмі протилежні сторони рівні, тому \(BC=AD.\) Тобто достатньо визначити довжину сторони \(AD\) в трикутнику \(ABD.\)

За теоремою синусів у \(\Delta ABD{:}\)

Оскільки \(BC=AD\), то \(BC=\sqrt{6}\) см.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів із цілим показником, тотожних перетворень раціональних і логарифмічних виразів.

1. Оскільки \(9=3^2\), то

Отже, \(a=m+2n.\) Правильна відповідь – Д.

2. Скористаймося формулою скороченого множення:

Отже, \(a=2mn.\) Правильна відповідь – Г.

3. Скористаймося властивостями логарифма:

Отже, \(a=3mn.\) Правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Графік квадратичної функції \(y=x^2-2x+5\) – парабола, вітки якої напрямлені вгору. Найменше значення такої функції у вершині (якщо абсциса вершини входить у заданий відрізок). Визначмо абсцису вершини:

Число \(1\) належить відрізку \([0; 4]\), тому обчислімо значення функції в цій точці:

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Лінійна функція \(y=-0{,}5x+5\) спадає на всій області визначення.

\(y=kx+b\), якщо \(k\gt 0\) функція зростає, а якщо \(k\lt 0\) – спадає.

На проміжку \([0; 4]\) найменше значення функції за \(x=4{:}\)

Отже, правильна відповідь – B.

3. Показникова функція \(y=2^x\) зростає на всій області визначення.

На проміжку \([0; 4]\) найменшого значення функція набуває за \(x=0{:}\) \begin{gather*} y(0)=2^0=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема прямокутника, кола, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора для розв’язування прямокутного трикутника.

1. За умовою точка \(M\) – середина сторони \(BC.\) Оскільки \(MC=8\) см, то \(BC=2MC=2\cdot 8=16\) см.

Правильна відповідь B.

2. Діаметр кола, описаного навколо прямокутника дорівнює його діагоналі \(AC\) або \(BD.\)

Обчислімо довжину діагоналі \(AC\) за теоремою Піфагора з трикутника \(ABC\ (\angle B=90^\circ){:}\)

Правильна відповідь Д.

3. Визначмо відстань від точки \(D\) до середини \(KM.\)

Розгляньмо трикутник \(ABC.\) Відрізок \(KM\) – це його середня лінія. За властивістю середньої лінії, трикутник BKM подібний до трикутника \(BAC\) з коефіцієнтом подібності \(k=\frac 12.\)

Це означає, що будь-який лінійний елемент трикутника \(BKM\) (медіана, висота, бісектриса) увдвічі менший за відповідний елемент трикутника \(BAC\) і лежить на тій самій лінії.

У прямокутнику діагоналі \(AC=BD\) і перетинаються в точці \(O.\) Відрізок \(BO\) – це медіана трикутника \(BAC.\) Оскільки \(P\) – середина \(KM\), то відрізок \(BP\) – це медіана трикутника \(BKM{:}\)

Отже, відстань від точки \(D\) до середини \(KM{:}\)

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – Б.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\text{-перших}\) членів послідовності.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця – це \(a_1=540\) в арифметичній прогресії \((a_n).\)

Кожного наступного місяця сума зменшується на \(10\) грн – це знаменник арифметичної прогресії \(d=–10\), а загальна сума, яку має повернути позичальник за \(24\) місяців – це \(S_{24}.\)

За формулою суми перших членів прогресії маємо:

Отже, загальна сума, яку повинен повернути позичальник, – \(10200\) грн.

Відповідь: \(10200.\)