Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування ірраціональних нерівностей, уміння розв'язувати нерівності з параметрами.

Розв'язок нерівності \(\sqrt{f(x)}\gt a\) – це сукупність систем:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} a\lt 0,\\ f(x)\ge 0, \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ f(x)\gt a^2. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*}

Таким чином,

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \frac{4x-1}{x-1}\ge 0,\\ a\lt 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ \frac{4x-1}{x-a}\gt a^2.\ \ \ \ (2) \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжемо (1) систему методом інтервалів:

Розв'яжемо (2) систему:

Розглянемо 2 випадки:
1)

Для розв'язку методом інтервалів необхідно з'ясувати при яких значеннях \(a\)

\begin{gather*} \frac{a^3-1}{a^2-4}\ge a,\\[6pt] \frac{a^3-1}{a^2-4}-a\gt 0,\\[6pt] \frac{a^3-1-a^3+4a}{a^2-4}\gt 0,\\[6pt] \frac{4a-1}{a^2-4}\ge 0,\\[6pt] \frac{a-\frac 14}{(a-2)(a+2)}\ge 0. \end{gather*}

При \(a\in \left[0; \frac 14\right]\)

При \(a\in \left(\frac 14; 2\right)\)

При \(a=2\ x\gt 2\), \(x\in (2; +\infty).\)

2) $$ \left\{\begin{array}{l} a\in (2; +\infty),\\ \left(x-\frac{a^3-1}{a^2-4}\right)(x-a)\lt 0. \end{array}\right. $$

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та пощини у просторі.

Це завдання перевіряє знання кута між площинами, перерізів многогранників; уміння застосовувати властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач.

1. Якщо \(\angle A\) – гострий, то \(BD\) – менша діагональ ромба.

2. Побудуємо переріз призми площиною \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) через \(BD\) та вершину \(C_1.\)

Точки \(D\) та \(C_1\) належать площині \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) та грані \((DCC_1)\), тому \(DC_1\) – слід січної площини на бічной грані \((DCC_1).\) Точки \(B_1\) та \(C_1\) – спільні точки площин \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) та \((BCC_1)\), тому \(BC_1\) – пряма перетину площин \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) та \((BCC_1).\)

Отже, \(BDC_1\) – шуканий переріз.

3. \(CO\ \perp\ BD\) (властивість ромба), тому \(C_1O\ \perp\ BD\) (за теоремою про три перпендикуляра).

Отже, \((C_1OC)\ \perp\ BD\) (за ознакою перпендикулярності прямої та площини).

\(\angle C_1OC=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) лінійний кут відповідного двограного \(\angle (\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}, (ABC))=\angle C_1OC=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)

4. У \(\Delta C_1OC\ (\angle C=90^\circ)\),

\begin{gather*} C_1O=\frac{h}{\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}},\\[6pt] OC=h\mathrm{ctg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}. \end{gather*}

5. За властивістю ромба \(AC\) – бисектриса \(\angle A\), тому \(\angle OAD=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}.\)

У \(\Delta AOD\ (\angle O=90^\circ)\), \(OD=AO\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}=h\mathrm{ctg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}.\)

6.