ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, застосовувати властивості степенів, формули скороченого множення.

За властивістю степенів: $$ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. $$ Спростімо вираз:

Знаменник спростили за формулою квадрата суми.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Ярослав зробив \(2150\) кроків, кожний довжиною \(d\) метрів. Відстань \(s\), яку він пройшов, можна визначити:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Дотична до графіка функції паралельна до осі \(x\) у точках максимуму та мінімуму \(x_0=-2\), \(x_0=1.\)

З наведених варіантів відповіді – це \(x_0=1.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

Корінь рівняння належить проміжку \((-2; 0).\)

Відповідь: В.

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації, комбінаторні правила суми.

Кількість різних варіантів замовлення одного десерту – \(10\), а однієї чашки кави – \(12.\)

За комбінаторним правилом суми кількість способів замовити або один десерт, або одну чашку кави дорівнює:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

За властивістю паралельних площин: через точку, яка не лежить у площині, можна провести площину, паралельну заданій, і до того ж тільки одну.

Через точку \(S\) можна провести одну площину, паралельну основі піраміди.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній, текстовій формі.

За діаграмою влітку на плетіння однієї сітки використовують \(50\) зелених стрічок, а восени – \(20.\) Обчислімо різницю: $$ 50-20=30\ \text{стрічок}. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння з параметром.

Область допустимих значень:

Прирівняймо чисельники рівних дробів:

\(x_1=6\mathord{,}5\) не буде коренем рівняння за умови:

Рівняння має один корінь \(x_2=-3.\)

\(x_2=-3\) не буде коренем рівняння за умови, що

Рівняння має один корінь \(x_1=6{,}5.\)

Отже, рівняння має один корінь за \(a=19\mathord{,}5\) або \(a=-9.\)

У відповіді запишімо їхню суму: $$ 19\mathord{,}5+(-9)=10\mathord{,}5. $$

Відповідь: \(10\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площі поверхні конуса.

Задано конус із бічною поверхнею \(260\pi.\)

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\pi RL, $$ де \(R=OB\), \(L=AB.\)

У прямокутному \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ).\) \(MO\) – медіана до гіпотенузи.

За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи: \(MO=\frac 12AB.\) \(MO=13\), тому \(AB=26.\)

Об'єм конуса $$ V=\frac 13\pi R^2H. $$ Висоту \(AO=H\) визначаємо з \(\Delta AOB\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(800.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановки, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Дарина має \(4\) різні листівки і \(2\) кольори конвертів. Кожну листівку можна використати лише один раз (бо їх усього \(4\) штуки).

Оскільки адресатів чотири і вибір для кожного є незалежним, кількість способів роздати \(4\) листівки \(4\) різним адресатам обчислюємо за формулою перестановок:

Для кожного з \(4\) адресатів є два варіанти конверту (жовтий/синій), незалежно, тобто маємо \(2^4=16.\)

Загальну кількість варіантів обчислюємо за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(384.\)

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати похідні функцій, похідну суми двох функцій, визначати способи задання функцій.

\(f(-4)=10\), тому що \(x=-4\lt-2.\)

При \(x=2\mathord{:}\)

Відповідь: \(-9.\)

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, середньої лінії трапеції, рівностороннього трикутника.

\(ABCD\) – ромб, \(\Delta DCK\) – рівносторонній, \(CD=DK=CK=8.\) \(MN\) – середня лінія.

1. Висота \(CH\) трикутника \(CDK\) – це висота ромба \(ABCD.\)

У \(\Delta CHK\ (\angle H=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – Г.

2. \(\Delta DCK\) – рівносторонній, \(CK=CD=DK=8\), \(\angle C=\angle D=\angle K=60^\circ.\)

\(BC\ ||\ DK\), \(CD\) – січна. \(\angle KDC=\angle DCB=60^\circ\) як внутрішні різносторонні.

У ромбі \(ABCD\) гострий кут \(C\) дорівнює \(60^\circ.\) \(\Delta CBD\) – рівносторонній, тому \(BC=CD=BD=8.\) Менша діагональ ромба \(BD=8.\)

Правильна відповідь – Б.

3.\(BC=8\), \(AK=AD+DK=8+8=16.\)

Середнія лінія

Правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – B.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=4x+7\) – це лінійна функція, яка зростає на всій області визначення.

\(y=kx+b\), якщо \(k\gt 0\) функція зростає, а якщо \(k\lt 0\) – спадає.

На проміжку \([-2; 6]\) найменше значення функції за \(x=-2.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2. \(y=x^2+1\) – квадратична функція. Найменшого значення функція набуває за \(x=0.\) $$ y(0)=0^2+1=1. $$

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(y=2^{x+5}\) – показникова функція. Вона зростає на всій області визначення.

На проміжку \([-2; 6]\) найменшого значення функція набуває за \(x=-2.\) $$ y(-2)=2^{-2+5}=2^3=8. $$

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

1. \(\sqrt[3]{-27}=-3.\)
\(-3\) – є цілим від'ємним числом. Отже, правильна відповідь – A.

2. \( \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{300}}=\frac{\sqrt{4\cdot 3}}{\sqrt{100\cdot 3}}=\frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{100}\cdot \sqrt{3}}=\frac{2}{10}=\frac 15. \)
\(\frac 15\) є раціональним нецілим числом. Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – Г.