У якому рядку числа \(\log_2{64},\ \log_{64}{2},\ 11\) розташовано за зростанням?
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.
За властивістю логарифма числа
\begin{gather*} \log_a{b^n}=n\cdot \log_a{b},\\[7pt] \log_{a^k}{b}=\frac 1k\log_a{b},\\[7pt] \log_2{64}=\log_2{2^6}=6\cdot \log_2{2}=6,\\[7pt] \log_{64}{2}=\log_{2^6}{2}=\frac 16\log_2{2}=\frac 16. \end{gather*}
Отже, у порядку зростання числа $$ \log_{64}{2},\ \ \log_{2}{64},\ \ 11 $$
Відповідь: A.
Розв’яжіть систему нерівностей $$ \left\{ \begin{array}{l} 3x-5\lt 2x,\\ 12-9x\le 3x. \end{array} \right. $$
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.
Розв'яжемо систему лінійний нерівностей: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} 3x-5\lt 2x, & \\ 12-9x\le 3x, & \end{array}\right. \ \ \left\{ \begin{array}{ l l} 3x-2x\lt 5, & \\ -9x-3x\le -12, & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 5, & \\ -12x\le -12 & \end{array}\right. \ \ \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 5, & \\ x\ge 1. & \end{array}\right. \end{gather*}
Відповідь: B.
Знайдіть похідну функції \(y=2x+\cos x.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна.
Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, похідну суми.
Знаходимо похідну функції $$ y=2x+\cos x. $$
За правилом \((u+v)'=u'+v'\) \begin{gather*} y'=2-\sin x \end{gather*}
Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $$\left(\frac 13\right)^{2x-1}=9.$$
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.
Розв'яжемо показникове рівняння: \begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{2x-1}=9. \end{gather*}
Зведемо до однакової основи: \begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{2x-1}=\left(\frac 13\right)^{-2}\\[6pt] 2x-1=-2,\ \ 2x=-2+1,\\[6pt] 2x=-1,\ \ x=-\frac 12. \end{gather*}
Корінь рівняння \(x=-0,5\) належить проміжку \((-1;\ 0].\)
Відповідь: Б.
Які з наведених тверджень щодо довільної трапеції \(ABCD\ (BC\ ||\ AD)\) є правильними?
I. \(\angle BAD+\angle ABC=180^\circ\)
II. \(\angle BCA=\angle CAD\)
III. \(AC=BD\)
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трапеції, властивостей паралельних прямих.
I. \(\angle BAD+\angle ABC=180^\circ\) правильне твердження. За властивістю трапеції сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює \(180^\circ.\)
II. \(\angle BCA=\angle CAD\) правильне твердження. \(BC || AD,\ CA\) – січна. \(\angle BCA\) та \(\angle CAD\) – внутрішні різносторонні.
III. \(AC=BD\) неправильне твердження. Діагоналі довільної трапеції не рівні.
Спростіть вираз \(3(1 – x)(1 + x).\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
Спростимо вираз:
$$ 3(1-x)(1+x)=3(1-x^2)=3-3x^2. $$
Використали формулу різниці квадратів: $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$
Графік функції \(y=\sqrt{x}\) паралельно перенесли на \(2\) одиниці ліворуч уздовж осі \(x.\) Укажіть функцію, графік якої отримали в результаті цього перетворення.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання перевіряє вміння виконувати перетворення графіків функцій.
Графік функції \(y=\sqrt{x}\) паралельно перенесли на \(2\) одиниці ліворуч уздовж осі \(x.\) Отримали функцію \(y=\sqrt{x+2}.\)
Відповідь: Г.
Визначте число, \(25\ \text{%}\) якого дорівнює \(50\).
Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі арифметичним способом, розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки.
Число, \(25\text{%}\) якого дорівнює \(50,\) знаходимо \(50:25\cdot 100=200.\)
Або \begin{gather*} 25\text{%} - 50,\\[7pt] 100\text{%} - x. \end{gather*}
Отже, \begin{gather*} \frac{25}{100}=\frac{50}{x},\\[6pt] x=\frac{50\cdot 100}{25}=200. \end{gather*}
Або \(25\text{%}\) – це \(\frac 14\) від числа. Отже, число дорівнює \(50\cdot 4=200.\)
Відповідь: Д.
У прямокутній системі координат \(xy\) зображено шість точок: \(K,\ L,\ M,\ N,\ P\) та \(Q\) (див. рисунок). Відомо, що точка \(P\) належить графіку функції \(y=x^2\). Укажіть ще одну точку, яка може належати цьому графіку.
Завдання перевіряє знання властивостей квадратичної функції.
Графіком квадратичної функції \(y=x^2\) є парабола, яка симетрична осі \(Oy.\) Отже, якщо точка \(P\) належить графіку, то симетрична їй точка \(N\) може належати цьому графіку.
Визначте об’єм циліндра, радіус основи якого дорівнює \(4\ \text{см}\), а висота – \(10\ \text{см}\).
ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє вміння обчислення об’єму циліндра.
Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\mathbf{\pi}R^2H, $$ де \(H=10\ \text{см},\ R=4\ \text{см}\). $$ V=\mathbf{\pi}\cdot 4^2\cdot 10=160\mathbf{\pi}\ (\text{см}^3). $$
Розв’яжіть рівняння \(2x-3=4.\)
Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.
Розв'яжемо лінійне рівняння:
\begin{gather*} 2x-3=4\\[7pt] 2x=4+3\\[7pt] 2x=7\\[7pt] x=3,5 \end{gather*}
Вершина \(B\) паралелограма \(ABCD\) лежить на прямій \(MC\) (див. рисунок). Визначте градусну міру кута \(CDA\), якщо \(\angle MBA=25^\circ\).
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.
Завдання перевіряє знання властивостей суміжних кутів та паралелограма.
\(\angle ABM+\angle ABC=180^\circ\) за властивістю суміжних кутів.
За властивістю паралелограма $$ \angle B=\angle D=155^\circ. $$
У коробці лежать тістечка двох видів: бісквіти та бeзе. Яке з наведених чисел може бути кількістю тістечок у коробці, якщо бісквітів у \(5\) разів більше, ніж бeзе?
Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, використовувати ознаки подільності чисел.
Нехай кількість бізе була \(x\) одиниць, тоді бісквітів – \(5x\) одиниць.
Отже, всього тістечок було $$ x+5x=6x. $$
Кількість тистечок може бути числом, кратним \(6\). З наведених чисел це може бути \(72.\)
З кошика, у якому лежать \(4\) зелених і \(5\) жовтих яблук, виймають навмання одне яблуко. Яка ймовірність того, що це яблуко буде жовтого кольору?
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.
Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події.
У кошику лежать 4 зелених і 5 жовтих яблук.
Імовірність того, що це яблуко буде жовтого кольору $$ P(A)=\frac 59, $$ \(A\) – вийняли жовте яблуко.
За формулою $$ P(A)=\frac mn, $$ де \(m=5\) – кількість жовтих яблук, \(n=9\) – кількість усіх яблук.
Розв’яжіть нерівність \(2\cdot\sqrt{x^2-6x+9}-\sqrt{(x-1)^2+4x}\le x\).
