Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 880

Математика. Всі запитання починаючи з 880

881882883884885886887888889890891892893894895 ▶

Завдання 881 з 2375

Визначте кут між векторами \(\vec{a}\) і \(\vec{b}+\vec{c}\) у градусах, якщо відомо, що \(\vec{a}(2;2)\), \(\vec{b}(2;4)\) і \(\vec{c}(-2;-6)\).

Впишіть відповідь:

135

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє знання поняття вектора, уміння виконувати дії з векторами, знаходити кут між векторами.

Кут між векторами знайдемо за формулою:

\begin{gather*} \cos \varphi = \frac{\vec a \cdot (\vec b + \vec c)}{|\vec a| \cdot |\vec b + \vec c|}, \end{gather*}

де \(\varphi\) – кут між векторами.

\begin{gather*} \vec a \cdot (\vec b + \vec c) = 2 \cdot (2 + (-2)) + 2 \cdot (4 + (-6))= 2 \cdot 0 + 2 \cdot (-2) = -4;\\[7pt] |\vec a| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2};\\[7pt] |\vec b + \vec c| = \sqrt{(2 + (-2))^2 + (4 + (-6))^2} = 2;\\[6pt] \cos \varphi = \frac{-4}{2\sqrt{2} \cdot 2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}= -\frac{\sqrt{2}}{2};\\[7pt] \varphi = 135^\circ. \end{gather*}

Відповідь: \(135.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14337

Завдання 882 з 2375

На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.

Впишіть відповідь:

1.4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей і формул площі поверхні конуса, уміння застосовувати властивості конуса за його розгорткою.

На рисунку зображено розгортку конуса.

\(AB = 15\), \(OB = 6.\)

\begin{gather*} S_\text{біч} = \pi Rl, \end{gather*}

де \(R = OB\) – радіус основи, \(l = AB\) – твірна.

\begin{gather*} S_\text{біч} = \pi \cdot 6 \cdot 15 = 90\pi;\\[7pt] S_\text{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi;\\[7pt] S_\text{поверхні} = S_\text{біч} + S_\text{осн}= 90\pi + 36\pi = 126\pi;\\[6pt] \frac{S_\text{поверхні}}{S_\text{біч}}= \frac{126\pi}{90\pi}= \frac{21}{15}= \frac 75=1\frac 25= 1{,}4. \end{gather*}

Відповідь: \(1{,}4.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14338

Завдання 883 з 2375

У правильній трикутній піраміді \(SABC\) з основою \(ABC\) бічне ребро вдвічі більше за сторону основи. Точки \(K\) і \(L\) є серединами ребер \(AC\) і \(BC\) відповідно. Через пряму \(KL\), паралельно до ребра \(SC\), проведено площину \(\alpha\). Знайдіть кут \(\varphi\) між площиною \(\alpha\) і площиною \((ABC)\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей многогранників, ознак паралельності прямої та площини, кута між прямою та площиною, між площинами, уміння будувати перерізи.

\(SABC\) – правильна піраміда, \(\Delta ABC\) – рівносторонній, \(SO\) – висота піраміди, (точка \(O\) – центр \(\Delta ABC\)). \(AK = KC\), \(CL = LB.\)

У \(\Delta ABC\ KL\) – середня лінія

\begin{gather*} KL = \frac 12AB;\\[6pt] KL\!\parallel\!AB. \end{gather*}

У \(\Delta SBC\) через точку \(L\) проведемо пряму \(PL\!\parallel\!SC.\) У \(\Delta SKA\ KE\!\parallel\!SC.\)

\(EPLK\) – переріз піраміди площиною, паралельною \(SC.\) Доведемо це твердження:

\(SC\) не лежить у \((PLK)\); \(SC\!\parallel\!PL\) \((PL\) належить \((PLK))\) звідси, за ознакою паралельності прямої та площини \(SC\!\parallel\!(PLK).\)

\(SC\!\parallel\!(PLK)\), тому кут між \((PLK)\) і \((ABC)\) дорівнює куту між \(SC\) та \((ABC).\)

\(SO\!\perp\!(ABC)\), \(SC\) – похила, \(CO\) – проєкція похилої.

Звідси \(\angle(SC, (ABC)) = \angle SCO.\)

Нехай \(AB = BC = CA = \alpha.\) Тоді \(SC = SB = SA = 2\alpha.\) \(CO\) – радіус описаного кола навколо \(\Delta ABC.\) \(CO = \dfrac{\alpha}{\sqrt{3}}.\)

У \(\Delta SOC\ (\angle O=90^\circ)\)

\begin{gather*} \cos C = \frac{CO}{SC}= \frac{\alpha}{\sqrt{3}\cdot 2\alpha}= \frac{1}{2\sqrt{3}}.\\[6pt] \angle C = \arccos\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right). \end{gather*}

Відповідь: \(\arccos\left(\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right).\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14339

Завдання 884 з 2375

Розв’яжіть систему нерівностей

\(\begin{cases}\dfrac{(x+3)(x-2)}{x^2-1}\le 1, \\[0,5ex] 4^\sqrt{9-x^2}\le 0{,}25^{x-3}.\end{cases}\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні, показникові та раціональні нерівності та їх системи.

\begin{gather*} \begin{cases} \dfrac{x^2 + x - 6}{x^2 - 1} - 1 \le 0, \\ 4^{\textstyle\sqrt{9 - x^2}} \le 4^{\textstyle 3 - x}, \end{cases}\ \ \begin{cases} \dfrac{x^2 + x - 6 - x^2 + 1}{x^2 - 1} \le 0,\\ \sqrt{9-x^2}\le 3-x, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} \dfrac{x - 5}{(x - 1)(x + 1)} \le 0,\\ \sqrt{9 - x^2} \le 3 - x, \end{cases}\ \ \begin{cases} \dfrac{x-5}{(x-1)(x+1)}\le 0,\\ \left\{\begin{array}{l} 9 - x^2 \le (3 - x)^2, \\ 9 - x^2 \ge 0, \end{array}\right. \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} \dfrac{x-5}{(x-1)(x+1)}\le 0,\\ \left\{\begin{array}{l} x^2 - 3x \ge 0, \\ (x - 3)(x + 3) \le 0. \end{array}\right. \end{cases} \end{gather*}

Розв’яжемо методом інтервалів кожну систему нерівностей:

\begin{gather*} \begin{cases} x(x-3) \ge 0, \\ (x - 3)(x + 3) \le 0. \end{cases} \end{gather*}

\begin{gather*} x \in [-3; 0] \cup \{3\}. \end{gather*}

\begin{gather*} \begin{cases} \dfrac{x-5}{(x-1)(x+1)}\le 0,\\ x \in [-3; 0] \cup \{3\}. \end{cases} \end{gather*}

\begin{gather*} x \in [-3; -1) \cup \{3\}. \end{gather*}

Відповідь: \([-3; -1) \cup \{3\}.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14340

Завдання 885 з 2375

Задано функцію \(f(x)=3x^4-4x^3-12x^2\).

1. Знайдіть проміжки зростання та спадання функції, екстремуми функції.
2. Побудуйте ескіз графіка функції \(f(x)\).
3. Знайдіть кількість коренів рівняння \(f(x)=a\), де \(a\in R\), залежно від значення параметра \(a\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння та нерівності. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, точок екстремуму, проміжків зростання та спадання функції, будувати ескіз графіка функції, розв’язувати графічно рівняння з параметром.

1. Знайдемо проміжки зростання та спадання, екстремуми функції.

\begin{gather*} f'(x)=12x^3-12x^2-24x.\\[7pt] f'(x)=0;\\[7pt] 12x^3-12x^2-24x=0;\\[7pt] 12x(x^2-x-2)=0;\\[7pt] 12x(x-2)(x+1)=0;\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x-2=0,\\ x+1=0, \end{array}\right.\\[7pt] \text{Критичні точки:}\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=2,\\ x=-1. \end{array}\right. \end{gather*}

Знайдемо знак похідної:

\(x=-1\), \(x=2\) – точки мінімуму;
\(x=0\) – точка максимуму.

\(f(x)\) зростає при \(x\in [-1; 0]\cup [2; +\infty)\),
\(f(x)\) спадає при \(x\in (-\infty; -1)\cup [0; 2].\)

2. Побудуємо ескіз графіка:

\(D(f)= R.\)

Знайдемо нулі функції \(f(x)=0\)

\begin{gather*} f(x)=3x^4-4x^3-12x^2=0;\\[7pt] x^2(3x^2-4x-12)=0;\\[7pt] 3x^2-4x-12=0;\\[7pt] D=16-4\cdot 3\cdot (-12)=160;\\[6pt] x_1=\frac{4+4\sqrt{10}}{6}=\frac{2+2\sqrt{10}}{3};\\[6pt] x_2=\frac{2-2\sqrt{10}}{3}.\\[6pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=\dfrac{2+2\sqrt{10}}{3},\\ x=\dfrac{2-2\sqrt{10}}{3}. \end{array}\right. \end{gather*}

Знаходимо проміжки знакосталості функції.

\(f(x)\gt 0\) при \(x\in\left(-\infty; \dfrac{2-2\sqrt{10}}{3}\right)\cup \left(\dfrac{2+2\sqrt{10}}{3}; +\infty\right).\)

\(f(x)\lt 0\) при \(x\in \left(\dfrac{2-2\sqrt{10}}{3}; 0\right)\cup \left(0; \dfrac{2+2\sqrt{10}}{3}\right).\)

\begin{gather*} f(-x)=3(-x)^4-4(-x)^3-12(-x)^2=3x^4+4x^3-12x^2=\\[7pt] =-(-3x^4-4x^3+12x^2) \end{gather*}

Функція ні парна, ні непарна.

Відповідь:
при \(a\in (-\infty; -32\) немає коренів;
при \(a=-32\ \ 1\) корінь;
при \(a\in (-32; -5)\cup (0; +\infty)\ \ 2\) корені;
при \(a\in \{0; -5\}\ \ 3\) корені;
при \(a\in (-5; 0)\ \ 4\) корені;
при \(a\lt 32\) немає коренів;
при \(a=-32\ \ 1\) корінь;
при \(-32\lt a\lt -5\ \ 2\) корені;
при \(a=-5\ \ 3\) корені;
при \(-5\lt a\lt 0\ \ 4\) корені;
при \(a=0\ \ 3\) корені;
при \(a\gt 0\ \ 2\) корені.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14341

Завдання 886 з 2375

Розташуйте у порядку спадання числа \(\sqrt{5}\); \(2^{\log_2 5}\); \(\dfrac{5}{2}\).

А\(2^{\log_2 5}\); \(\dfrac{5}{2}\); \(\sqrt{5}\)

Б\(\dfrac{5}{2}\); \(\sqrt{5}\); \(2^{\log_2 5}\)

В\(\dfrac{5}{2}\); \(2^{\log_2 5}\); \(\sqrt{5}\)

Г\(\sqrt{5}\); \(\dfrac{5}{2}\); \(2^{\log_2 5}\)

Д\(2^{\log_2 5}\); \(\sqrt{5}\); \(\dfrac{5}{2}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

\begin{gather*} \sqrt{5}=5^{\textstyle \frac 12};\\[6pt] 2^{\textstyle \log_2 5}=5;\\[6pt] \frac 52=2{,}5. \end{gather*}

Запишемо у порядку спадання:

\begin{gather*} 5;\ \ 2{,}5;\ \ 5^{\textstyle \frac 12}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14523

Завдання 887 з 2375

Банк сплачує своїм вкладникам \(8\ \text{%}\) річних. Визначте, скільки грошей треба покласти на рахунок, щоб через рік отримати \(60\) грн прибутку.

А\(1150\)

Б\(1050\)

В\(950\)

Г\(850\)

Д\(750\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Відношення та пропорції. Відсоткові розрахунки.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки.

\(60\) грн прибутку – це \(8\ \%\) від грошей, що поклали на рахунок.

\begin{gather*} 60:8\cdot 100 = 750\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14524

Завдання 888 з 2375

З натуральних чисел від \(1\) до \(30\) учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа \(30\)?

А\(\dfrac {1}{30}\)

Б\(\dfrac {2}{30}\)

В\(\dfrac {4}{15}\)

Г\(\dfrac {6}{15}\)

Д\(\dfrac {7}{15}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовiрностi події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Дільниками числа \(30\) є числа:

\(1\); \(2\); \(3\); \(5\); \(6\); \(10\); \(15\); \(30\) (\(8\) чисел).

Отже, ймовірність того, що навмання назване число – дільник \(30{:}\)

\begin{gather*} P(A)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14525

Завдання 889 з 2375

Розв'яжіть нерівність \(x + \dfrac{1}{x - 3}\gt\dfrac{1}{x - 3} - 2\).

А\((-2; 3)\)

Б\((-2; +\infty)\)

В\((-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\)

Г\((-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\)

Д\((-2; 3) \cup (3; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

\begin{gather*} \begin{cases} x\gt -2,\\ x\ne 3, \end{cases}\\[7pt] x\in (-2; 3)\cup (3; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14526

Завдання 890 з 2375

Знайдіть область визначення функції \(y = \sqrt{x + 9}\).

А\([3; +\infty)\)

Б\([9; +\infty)\)

В\([-3; +\infty)\)

Г\([-9; +\infty)\)

Д\([-9; 9]\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей функції, вміння знаходити область значень функції.

Область визначення функції

\begin{gather*} y=\sqrt{x+9};\\[7pt] x+9\ge 0;\\[7pt] x\ge -9. \end{gather*}

Отже, \(x\in [-9; +\infty).\)

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14527

Завдання 891 з 2375

Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері у відношенні \(4:1\). Укажіть число, яким може виражатися загальна кількість вікон та дверей в цьому будинку.

А\(41\)

Б\(45\)

В\(54\)

Г\(68\)

Д\(81\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє ознаки подільності чисел, уміння розв'язувати задачі на відношення та пропорції.

Відношення кількості вікон та дверей \(4 : 1.\) Загальна кількість вікон та дверей виражається числом, кратним \(5.\) З наведених чисел це може бути число \(45.\)

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14528

Завдання 892 з 2375

Обчисліть \(\sqrt{(2\sin 45^\circ + 1)^2} - \sqrt{(1 - 2\cos 45^\circ)^2}\).

А\(1\)

Б\(\dfrac {\sqrt 2}{2}\)

В\(\dfrac {1}{2}\)

Г\(\sqrt 2\)

Д\(2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} \sqrt{(2\sin 45^\circ+1)^2}-\sqrt{(1-2\cos 45^\circ)^2}=|2\sin 45^\circ+1|-|1-2\cos 45^\circ|=\\[6pt] =\left|2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+1\right|-\left|1-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right|=|\sqrt{2}+1|-|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}+1+1-\sqrt{2}=2. \end{gather*}

\(\sqrt{2}+1\gt 0\), oтже, \(|\sqrt{2}+1|=\sqrt{2}+1.\)

\(1-\sqrt{2}\lt 0\), oтже, \(|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1.\)

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14529

Завдання 893 з 2375

Розв'яжіть рівняння \(\operatorname{tg} \dfrac{x}{2} = \sqrt{3}\).

А\(\dfrac{\pi}{6}\)

Б\(\dfrac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z\)

В\(\dfrac{2\pi}{3} + \pi n, n \in Z\)

Г\(\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z\)

Дінша відповідь

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \frac x2=\sqrt{3};\\[6pt] \frac x2=\mathrm{arctg}\ \sqrt{3}+\pi n,\ n\ne Z;\\[6pt] \frac x2=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\ne Z;\\[6pt] x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\ne Z. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14530

Завдання 894 з 2375

За видом графіка функції \(y = kx + b\) визначте знаки коефіцієнтів \(k\) і \(b\). Оберіть правильне твердження.

А\(\begin{cases} k > 0, \\ b < 0 \end{cases}\)

Б\(\begin{cases} k < 0, \\ b > 0 \end{cases}\)

В\(\begin{cases} k < 0, \\ b < 0 \end{cases}\)

Г\(\begin{cases} k > 0, \\ b > 0 \end{cases}\)

Д\(\begin{cases} k = 0, \\ b > 0 \end{cases}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей лінійної функції.

Пряма перетинає вісь \(Ox\) під гострим кутом, тому \(k\gt 0.\)

\(b\) – точка перетину прямої з віссю \(Oy\), \(b\gt 0.\)

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14531

Завдання 895 з 2375

Укажіть парну функцію.

А\(y = x\)

Б\(y = 2^x\)

В\(y = \operatorname{tg} x\)

Г\(y = \log_2 x\)

Д\(y = x^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, показникові, тригонометричні, логарифмічні, степеневі функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій, уміння досліджувати функції на парність.

Парна функція \(y=x^2.\)

\begin{gather*} D(y)=R;\\[7pt] y(-x)=(-x)^2=x^2=y(x). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14532