Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 905

Математика. Всі запитання починаючи з 905

906907908909910911912913914915916917918919920 ▶

Завдання 906 з 2309

Обчисліть \((\sqrt[\scriptstyle{6}]{27}+\sqrt[\scriptstyle{4}]{64})(\sqrt[\scriptstyle{6}]{27}-\sqrt[\scriptstyle{4}]{64})\).

Впишіть відповідь:

-5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

\begin{gather*} (\sqrt[\scriptstyle 6]{27}+\sqrt[\scriptstyle 4]{64})(\sqrt[\scriptstyle 6]{27}-\sqrt[\scriptstyle 4]{64})=(\sqrt[\scriptstyle 6]{27})^2-(\sqrt[\scriptstyle 4]{64})^2=\\[7pt] =\sqrt[\scriptstyle 6]{3^6}-\sqrt[\scriptstyle 4]{2^{12}}=3-2^3=3-8=-5. \end{gather*}

Відповідь: \(-5.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14543

Завдання 907 з 2309

Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.

Впишіть відповідь:

144

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння знаходити суму \(n\)-перших членів арифметичної прогресії.

Непарні натуральні числа складають арифметичну прогресію: \(a_1=1\), \(d=2.\)

За формулою суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n, \end{gather*}

знаходимо

\begin{gather*} S_{12}=\frac{2\cdot 1+2(12-1)}{2}\cdot 12=\frac{2+22}{2}\cdot 12=12\cdot 12=144. \end{gather*}

Відповідь: \(144.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14544

Завдання 908 з 2309

Укажіть найменше ціле число, яке є розв'язком нерівності

\(\dfrac{(x-3)(x+10)(x^2+8x-9)}{x^2+8x-9} \lt 0\).

Впишіть відповідь:

-8

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності методом інтервалів.

Розкладемо \((x^2+8x-9)\) на множники: \begin{gather*} x^2+8x-9=(x-1)(x+9);\\[7pt] \begin{cases} (x-3)(x+10)\lt 0,\\ x\ne 1,\\ x\ne -9. \end{cases} \end{gather*}

Найменше ціле число, яке є розв'язком нерівності \(x=-8.\)

Відповідь: \(-8.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14545

Завдання 909 з 2309

На перегоні, довжина якого дорівнює \(240\) км, поїзд рухався зі швидкістю на \(10\) км/год менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на \(48\) хв. З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом? (Відповідь в км/год).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на рух.

Нехай швидкість поїзда за розкладом \(x\) км/год, тоді швидкість на перегоні була \((x-10)\) км/год.

	\(V\), км/год	\(t\), год	\(S\), км
За розкладом	\(x\)	\(\dfrac{240}{x}\)	\(240\)
Фактично	\(x-10\)	\(\dfrac{240}{x-10}\)	\(240\)

Поїзд запізнився на \(48\ \text{хв}=\dfrac{48}{60}\ \text{год}=\dfrac 45\ \text{год}.\) Складемо рівняння:

\begin{gather*} \frac{240}{x-10}-\frac{240}{x}=\frac 45;\\[6pt] \frac{240(x-x+10)}{x(x-10)}=\frac 45;\\[6pt] \frac{2400}{x(x-10)}=\frac 45\ \big| :4;\\[6pt] \frac{600}{x(x-10)}=\frac 15;\\[6pt] \begin{cases} x(x-10)=5\cdot 600,\\ x\ne 0;\ x\ne 10, \end{cases}\ \ \begin{cases} x^2-10x-3000=0,\\ x\ne 0;\ x\ne 10, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x=-50;\ x=60,\\ x\ne 0;\ x\ne 10. \end{cases} \end{gather*}

\(x=-50\) не задовольняє умові задачі.

Отже, швидкість поїзда за розкладом – \(60\) км/год.

Відповідь: \(60.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14546

Завдання 910 з 2309

Обчисліть \(2\sin15^\circ\cos15^\circ\operatorname{tg}30^\circ\operatorname{ctg}30^\circ\).

Впишіть відповідь:

0.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Тригонометричні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} 2\sin 15^\circ\cdot \cos 15^\circ\mathrm{tg}\ 30^\circ\mathrm{ctg}\ 30^\circ=\sin 30^\circ\cdot 1=\frac 12=0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(0{,}5.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14547

Завдання 911 з 2309

Розв'яжіть рівняння \((x^2-9)\sqrt{-15+8x-x^2}=0\). У відповідь запишіть суму коренів.

Впишіть відповідь:

11 або 8

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні та ірраціональні нерівності.

\begin{gather*} (x^2-9)\sqrt{-15+8x-x^2}=0.\\[7pt] \begin{cases} -15+8x-x^2\ge 0,\\ \left[\begin{array}{l} x^2-9=0,\\ -15+8x-x^2=0, \end{array}\right. \end{cases}\ \ \begin{cases} x^2-8x+15\le 0,\\ \left[\begin{array}{l} x=\pm 3,\\ x^2-8x+15=0, \end{array}\right. \end{cases}\\[7pt] x^2-8x+15=0;\\[7pt] D=64-4\cdot 1\cdot 15=4;\\[6pt] x_1=\frac{8+2}{2}=5;\\[6pt] x_2=\frac{8-2}{2}=3. \end{gather*}

\begin{gather*} \begin{cases} x\in [3; 5],\\ \left[\begin{array}{l} x_1=3,\\ x_2=5,\\ x_3=-3. \end{array}\right. \end{cases} \end{gather*}

Корені рівняння \(x_1=3\) та \(x_2=5.\)

Сума коренів

\begin{gather*} x_1+x_2=3+5=8. \end{gather*}

Відповідь: \(8.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14548

Завдання 912 з 2309

Розв'яжіть систему рівнянь \(\begin{cases}2^{2y-x}=32, \\ \log_\frac{1}{2}(y-x)=-2.\end{cases}\)

Запишіть у відповідь добуток \(x_0 \cdot y_0\), якщо пара \((x_0,y_0)\) є розв'язком вказаної системи рівнянь.

Впишіть відповідь:

-3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові та логарифмічні рівняння.

ОДЗ: \(y-x\gt 0\), \(y\gt x.\)

\begin{gather*} \begin{cases} 2^{2y-x}=2^5,\\ y-x=\left(\dfrac 12\right)^{-2}, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} 2y-x=5,\\ \underline{y-x=4}, \end{cases}\\[0pt] y=1. \end{gather*}

Підставимо значення \(y=1\) у друге рівняння:

\begin{gather*} 1-x=4,\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

\((-3; 1)\) – розв'язок системи рівнянь.

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=-3. \end{gather*}

Відповідь: \(-3.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14549

Завдання 913 з 2309

Середній вік одинадцяти футболістів команди становить \(22\) роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став \(21\) рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє знання середнього арифметичного чисел, уміння розв'язувати текстові задачі.

Середній вік одинадцяти футболістів \(22\) роки. Отже, сумарний вік одинадцяти футболістів

\begin{gather*} 22\cdot 11=242\ \text{роки}. \end{gather*}

Після того, як одного футболіста було вилучено з поля, середній вік гравців, що залишилися, став \(21\) рік. Отже, сумарний вік \(10\) футболістів:

\begin{gather*} 21\cdot 10=210\ \text{років}.\\[7pt] 242-210=32\ \text{роки} - \text{вік футболіста, який залишив поле}. \end{gather*}

Відповідь: \(32.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14550

Завдання 914 з 2309

Обчисліть \(\log_34\cdot\log_45\cdot\log_57\cdot\log_781\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Алгебра і початки чисел. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифма.

Спростимо за формулою переходу до нової основи:

\begin{gather*} \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}.\\[7pt] \log_3 4\cdot \log_4 5\cdot \log_5 7\cdot \log_7 81=\\[6pt] =\log_3 4\cdot \frac{\log_3 5}{\log_3 4}\cdot \frac{\log_3 7}{\log_3 5}\cdot \frac{\log_3 81}{\log_3 7}=\log_3 81=4. \end{gather*}

Відповідь: \(4.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14551

Завдання 915 з 2309

Знайдіть найбільше ціле значення параметра \(a\), при якому система рівнянь

\(\begin{cases}y-x=a, \\ x^2+y^2=1\end{cases}\) має два розв'язки.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння з параметрами, зокрема графічно.

Розв'яжемо графічно:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} y-x=a,\\ x^2+y^2=1, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=x+a,\\ x^2+y^2=1. \end{array}\right. \end{gather*}

\(x^2+y^2=1\) – рівняння кола, з центром в точці \((0; 0)\) та радіусом \(R=1.\)

\(y=x+a\) – пряма \(y=x\), яка переміщується вздовж осі \(Oy\) на \(a\) одиниць.

Кількість розв'язків системи – кількість точок перетину графіків.

Найбільше ціле значення параметра \(a=1\) при якому система має два розв'язки.

Відповідь: \(1.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14552

Завдання 916 з 2309

Знайдіть найбільше значення функції \(y=x^3-3x^2+2\) на проміжку \([-1;1]\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку за допомогою похідної.

Найбільше значення функції знайдемо за допомогою похідної:

\begin{gather*} y'=3x^2-6x. \end{gather*}

Знайдемо критичні точки:

\begin{gather*} y'(x)=0;\\[7pt] 3x^2-6x=0;\\[7pt] 3x(x-2)=0;\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=2\ \notin [-1; 1]. \end{array}\right. \end{gather*}

Знаходимо значення функції в критичній точці \(x=0\) та у кінцях відрізка \([-1; 1]{:}\)

\begin{gather*} f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2;\\[7pt] f(1)=1^3-3\cdot 1+2=0;\\[7pt] f(0)=0^3-3\cdot 0+2=2.\\[7pt] \underset{[-1; 1]}{\mathrm{max}} f(x) =f(0)=2. \end{gather*}

Відповідь: \(2.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14553

Завдання 917 з 2309

Знайдіть найменше ціле значення параметра \(a\), при якому рівняння \(\log_8(x+2)=\log_8(2x-a)\) має корені.

Впишіть відповідь:

-3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифмічної функції, вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \begin{cases} x+2=2x-a,\\ x+2\gt 0, \end{cases}\ \ \begin{cases} x=2+a,\\ x\gt -2. \end{cases} \end{gather*}

Рівняння має корені, якщо корінь \(x=2+a\) належить ОДЗ \(x\gt -2.\)

Отже,

\begin{gather*} 2+a\gt -2;\\[7pt] a\gt -4. \end{gather*}

Найменше ціле значення параметра \(a\) дорівнює \(-3.\)

Відповідь: \(-3.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14554

Завдання 918 з 2309

Сторона рівностороннього трикутника \(ABC\) дорівнює \(5\) см. Знайдіть скалярний добуток \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

Впишіть відповідь:

12.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори.

Це завдання перевіряє вміння знаходити скалярний добуток векторів.

\begin{gather*} AB=BC=AC=5\ \text{см}.\\[7pt] \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos A. \end{gather*}

\(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=5\) (довжина вектора).

\(\Delta ABC\) рівносторонній, отже\(\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.\)

\begin{gather*} \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\cdot 5\cdot \cos 60^\circ=25\cdot \frac 12=12{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(12{,}5.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14555

Завдання 919 з 2309

Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на \(50\) м\(^3\). Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру \(15\) м \(\times\) \(18\) м \(\times\) \(25\) м?

Впишіть відповідь:

405

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, знаходити об'єм прямокутного паралелепіпеда.

Знайдемо об'єм будинку

\begin{gather*} V=15\cdot 18\cdot 25=6750\ \text{м}^3. \end{gather*}

Кількість радіаторів, які треба замовити

\begin{gather*} 6750:50\cdot 3=405. \end{gather*}

Відповідь: \(405.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14556

Завдання 920 з 2309

Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює \(2\sqrt3\) см і нахилена під кутом \(60^\circ\) до площини основи. Знайдіть об'єм піраміди.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити кути в просторі, знання властивостей правильної піраміди.

\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат. \(SK=2\sqrt{3}\) см – апофема.

\(SO\!\perp\!(ABC)\), \(SK\) – похила, \(OK\) – проекція похилої.

Отже, \(\angle(SK, (ABC))=\angle SKO=60^\circ.\) \(SK=2\sqrt{3}\) см. \(\Delta SOK\ (\angle O=90^\circ).\)

\begin{gather*} SO=SK\sin K=2\sqrt{3}\cdot \sin 60^\circ=2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\ \text{см};\\[6pt] OK=SK\cdot \cos 60^\circ=2\sqrt{3}\cdot \frac 12=\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] OK=\frac 12 AD;\\[6pt] AD=2\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}=S_{ABCD}=AD^2=(2\sqrt{3})^2=12\) см\(^2\), \(H=SO=3\) см.

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot 12\cdot 3=12\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(12.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14557