ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність \(−x\ge 0.\) Отже, \(D(y)=(-\infty; 0].\)

Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння \(4-\sqrt{-x}=0\), звідки \(x=−16.\)

Якщо \(x\in (-\infty; −16]\), то

Якщо \(x\in (−16; 0]\), то

\begin{gather*} y=\frac{\sqrt{-x}+4-\sqrt{-x}}{2}=2. \end{gather*}

Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Визначимо область допустимих значень параметра \(a{:}\ a\gt 0.\)

Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:

Розв’яжемо спочатку першу систему.

Розглянемо нерівність \(x^2-2\sqrt{a}\cdot x+1\gt 0.\)

\(\dfrac D4=(\sqrt{a})^2-1=a-1.\)

1. Якщо \(a\lt 1\), то розв’язком першої нерівності даної системи буде \(x\in R.\) Тоді розв’язком нерівності \(2^x\lt -\lg a\) буде \(x\in \left(-\infty; \log_2 \lg\dfrac 1a\right)\) при \(0\lt a\lt 1.\) Тобто, розв’язок першої системи матиме вигляд \(x\in\left(-\infty; \log_2 \lg\dfrac 1a\right)\) при \(0\lt a\lt 1.\)

Розв’яжемо другу систему.

Ураховуючи розв’язання попередньої системи, \(\dfrac D4=(\sqrt{a})^2-1=a-1.\)

1. Якщо \(a\lt 1\), то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має розв’язків.

2. Якщо \(a\gt 1\), то розв’язком нерівності \(x^2-2\sqrt{a}\cdot x+1\lt 0\) буде \(x\in (\sqrt{a}-\sqrt{a-1}; \sqrt{a}+\sqrt{a-1}).\) Тоді розв’язком нерівності \(2^x\gt -\lg a\) буде \(x\in R.\) Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд \(x\in (\sqrt{a}-\sqrt{a-1}; \sqrt{a}+\sqrt{a-1}).\)

3. Якщо \(a=1\), то одержимо нерівність \(x^2-2x+1\lt 0\), звідси \(x\in \varnothing.\)

Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, розкладати многочлен на множники, скорочувати дріб.

$$ \frac{2a+2}{2}=\frac{2(a+1)}{2}=a+1. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач, знання властивості вертикальних кутів.

\(\angle \mathbf{\beta}=60^\circ\) як вертикальний з даним кутом \(60^\circ.\)

\(\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}+40^\circ=180^\circ\) оскільки складають розгорнутий кут.

Відповідь: A.

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні). Ознаки подільності чисел на \(5\), \(10.\)

Це завдання перевіряє вміння використовувати ознаки подільності.

Друзі купили кілька однакових тістечок вартістю \(10\) грн кожне, тому вартість покупки виражається цілим числом, кратним \(10.\) Крім того друзі купили \(5\) однакових булочок вартістю \(x\) грн кожна, вартість цієї покупки виражається числом, кратним \(5.\) Числа \(10\) і \(5\) кратні \(5\), тому загальна вартість всієї покупки виражається числом, кратним \(5.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Функціональна залежність. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Найбільше значення функції \(f(x)\) на проміжку \([-4; 6]\) досягається при \(x=-4.\)

Отже, \(f(-4)=5.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння. Функціональна залежність. Логарифмічна функція.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

\(\log_4(x-1)=3.\) За означенням логарифма можна записати \(x-1=4^3.\)

Звідси \(x-1=64\), \(x=65.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'єму геометричних тіл.

Об'єм кулі знаходиться за формулою $$ V=\frac 43\mathbf{\pi}R^3. $$ У завданні необхідо знайти об'єм півкулі, тому

$$ V=\left(\frac 43\mathbf{\pi}R^3\right):2=\frac{2\mathbf{\pi}R^3}{3}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування ірраціональних рівнянь, уміння розв'язувати ірраціональні рівняння.

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата й знаходимо \(x.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення функції.

$$ y=\frac{x+1}{x-2}. $$

Область визначення функції – усі дійсні числа, крім \(x=2\) (при даному значенні вираз \(\frac{x+1}{x-2}\) не має змісту).

\(x\in (-\infty; 2)\cup (2; +\infty).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Взаємне розміщення прямих у просторі.

Це завдання перевіряє знання означення паралельних прямих.

У просторі задано паралельні прямі \(m\) i \(n.\) За означенням паралельних прямих вони лежать в одній площині та не перетинаються. Тому правильне твердження I, але неправильне ІІІ.

Через дві прямі в площині можна провести пряму, що перетинає обидві прямі \(m\) i \(n.\) Правильне твердження ІІ.

Отже, правильні твердження І та ІІ.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Розкриваємо дужки, зводимо подібні доданки.

Відповідь: B.

ТЕМА: Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники. Суміжні та вертикальні кути, паралельні та перпендикулярні прямі. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралельних прямих, ознаки подібності трикутників до розв'язування планіметричних задач.

Зробимо додаткову побудову і терез точку \(K\) проведемо пряму \(AB\), перпендикулярну до прямих \(a\) i \(b.\)

Розглянемо трикутники \(ADK\) та \(BCK.\) Вони подібні за двома кутами: \(\angle ADK=\angle BCK\) як внутрішні різносторонні при \(a\ ||\ b\) та січною \(CD.\)

\(\angle DAK=\angle KBC=90^\circ\) за побудовою.

У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні, отже $$ \frac{AK}{KB}=\frac{KD}{CK}. $$

Відстань від точки \(K\) до прямої \(a\) – це довжина перпенидкуляра \(KA=1\) см \begin{gather*} \frac{1}{KB}=\frac 25,\\[6pt] KB=2\mathord{,}5\ \textit{см}. \end{gather*}

Відстань між прямими \(a\) i \(b\) – це довжина спільного перпендикуляра

\(AB=AK+KB=1+2\mathord{,}5=3\mathord{,}5\) см.

Відповідь: B.

ТЕМА: Елементи комбінаторики, початки теорії імоверностей та елементи статистики. Вибіркові характеристики.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Знайдемо, який середній час витратив учень на дорогу до школи:

Середній час, який учень витратив на дорогу до дому:

На дорогу до дому учень витратив на \(5\) хв. більше.

Відповідь: Г.