ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові та логарифмічні рівняння.

ОДЗ: \(y-x\gt 0\), \(y\gt x.\)

Підставимо значення \(y=1\) у друге рівняння:

\((-3; 1)\) – розв'язок системи рівнянь.

Відповідь: \(-3.\)

Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє знання середнього арифметичного чисел, уміння розв'язувати текстові задачі.

Середній вік одинадцяти футболістів \(22\) роки. Отже, сумарний вік одинадцяти футболістів

Після того, як одного футболіста було вилучено з поля, середній вік гравців, що залишилися, став \(21\) рік. Отже, сумарний вік \(10\) футболістів:

Відповідь: \(32.\)

Алгебра і початки чисел. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифма.

Спростимо за формулою переходу до нової основи:

Відповідь: \(4.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння з параметрами, зокрема графічно.

Розв'яжемо графічно:

\(x^2+y^2=1\) – рівняння кола, з центром в точці \((0; 0)\) та радіусом \(R=1.\)

\(y=x+a\) – пряма \(y=x\), яка переміщується вздовж осі \(Oy\) на \(a\) одиниць.

Кількість розв'язків системи – кількість точок перетину графіків.

Найбільше ціле значення параметра \(a=1\) при якому система має два розв'язки.

Відповідь: \(1.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку за допомогою похідної.

Найбільше значення функції знайдемо за допомогою похідної:

Знайдемо критичні точки:

Знаходимо значення функції в критичній точці \(x=0\) та у кінцях відрізка \([-1; 1]{:}\)

Відповідь: \(2.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифмічної функції, вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

Рівняння має корені, якщо корінь \(x=2+a\) належить ОДЗ \(x\gt -2.\)

Отже,

Найменше ціле значення параметра \(a\) дорівнює \(-3.\)

Відповідь: \(-3.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори.

Це завдання перевіряє вміння знаходити скалярний добуток векторів.

\(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=5\) (довжина вектора).

\(\Delta ABC\) рівносторонній, отже\(\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.\)

Відповідь: \(12{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, знаходити об'єм прямокутного паралелепіпеда.

Знайдемо об'єм будинку

Кількість радіаторів, які треба замовити

Відповідь: \(405.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити кути в просторі, знання властивостей правильної піраміди.

\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат. \(SK=2\sqrt{3}\) см – апофема.

\(SO\!\perp\!(ABC)\), \(SK\) – похила, \(OK\) – проекція похилої.

Отже, \(\angle(SK, (ABC))=\angle SKO=60^\circ.\) \(SK=2\sqrt{3}\) см. \(\Delta SOK\ (\angle O=90^\circ).\)

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Нехай \(SABCD\) – задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат \(ABCD\), і \(SO\) її висота. Позначимо сторону основи \(AB\) через \(a\), тоді бічне ребро \(SA=2a.\)

У трикутнику \(SDC\) з вершини \(D\) проведемо медіану \(DN\), \(N\) – середина ребра \(SC.\) У трикутнику \(ASC\) проведемо середню лінію, паралельну \(AC.\) Вона перетинає ребра \(SA\) та \(SC\) у точках \(M\) та \(N\) відповідно, \(AM = MS\) та \(SN = NC\) (за означенням середньої лінії). Оскільки \(AC\) лежить у площині \(ABC\) і \(MN\!\parallel\!AC\), то \(MN\!\parallel\!(ABC).\) Прямі \(MN\) та \(ND\) перетинаються в точці \(N\), тому кут \(MND\) є шуканим кутом між медіаною \(DN\) трикутника \(SDC\) і середньою лінією \(MN\) трикутника \(ASC.\) Позначимо \(\angle MND=\alpha.\)

Діагональ \(AC\) квадрата \(ABCD\) дорівнює \(a\sqrt{2}\), тому середня лінія \(MN=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\)

Висота \(SO\) піраміди перетинає \(MN\) в точці \(L.\) Оскільки трикутники \(ASC\) і \(SMN\) є рівнобедреними, то \(AO=OC\) і \(ML=LN=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.\)

З прямокутного трикутника \(SOC\)

Трикутник \(DNM\) рівнобедрений, оскільки \(DM=DN\) як медіани рівних трикутників \(SAD\) та \(SCD.\) Медіана \(DL\) є висотою. Отже, трикутник \(DLN\) є прямокутним.

З трикутника \(DLN\) маємо:

Відповідь: \(\mathrm{arctg}\ \sqrt{11}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність \(−x\ge 0.\) Отже, \(D(y)=(-\infty; 0].\)

Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння \(4-\sqrt{-x}=0\), звідки \(x=−16.\)

Якщо \(x\in (-\infty; −16]\), то

Якщо \(x\in (−16; 0]\), то

\begin{gather*} y=\frac{\sqrt{-x}+4-\sqrt{-x}}{2}=2. \end{gather*}

Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Визначимо область допустимих значень параметра \(a{:}\ a\gt 0.\)

Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:

Розв’яжемо спочатку першу систему.

Розглянемо нерівність \(x^2-2\sqrt{a}\cdot x+1\gt 0.\)

\(\dfrac D4=(\sqrt{a})^2-1=a-1.\)

1. Якщо \(a\lt 1\), то розв’язком першої нерівності даної системи буде \(x\in R.\) Тоді розв’язком нерівності \(2^x\lt -\lg a\) буде \(x\in \left(-\infty; \log_2 \lg\dfrac 1a\right)\) при \(0\lt a\lt 1.\) Тобто, розв’язок першої системи матиме вигляд \(x\in\left(-\infty; \log_2 \lg\dfrac 1a\right)\) при \(0\lt a\lt 1.\)

Розв’яжемо другу систему.

Ураховуючи розв’язання попередньої системи, \(\dfrac D4=(\sqrt{a})^2-1=a-1.\)

1. Якщо \(a\lt 1\), то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має розв’язків.

2. Якщо \(a\gt 1\), то розв’язком нерівності \(x^2-2\sqrt{a}\cdot x+1\lt 0\) буде \(x\in (\sqrt{a}-\sqrt{a-1}; \sqrt{a}+\sqrt{a-1}).\) Тоді розв’язком нерівності \(2^x\gt -\lg a\) буде \(x\in R.\) Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд \(x\in (\sqrt{a}-\sqrt{a-1}; \sqrt{a}+\sqrt{a-1}).\)

3. Якщо \(a=1\), то одержимо нерівність \(x^2-2x+1\lt 0\), звідси \(x\in \varnothing.\)

Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, розкладати многочлен на множники, скорочувати дріб.

$$ \frac{2a+2}{2}=\frac{2(a+1)}{2}=a+1. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач, знання властивості вертикальних кутів.

\(\angle \mathbf{\beta}=60^\circ\) як вертикальний з даним кутом \(60^\circ.\)

\(\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}+40^\circ=180^\circ\) оскільки складають розгорнутий кут.

Відповідь: A.