ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ірраціональні рівняння. Функції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, знаходити область визначення функції, знання методів розв’язування ірраціональних рівнянь.

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата. Отримали рівняння, яке є наслідком даного:

Перевірка показує, що \(x=-2\mathord{,}5\) є коренем даного рівняння:

Корінь рівняння належить проміжку \([-3; -1).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії, властивостей паралельних прямих, уміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв’язування планіметричних задач.

\(\angle ABC+\angle CBD+\angle DBE=180^\circ\), \(\angle CBD=\angle BDE=70^\circ\), як внутрішні різносторонні при \(m\ ||\ n\) та січною \(BD.\) Кут \(\mathbf{\alpha}=180^\circ-60^\circ-70^\circ=50^\circ.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Оскільки обидва дроби мають однаковий знаменник, перетворимо заданий вираз у такій послідовності:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей функцій, уміння розв’язувати рівняння першого степеня.

Точка перетину графіка функції \(y=2x-2\) з віссю абсцис має ординату нуль \((y=0).\) Абсцису точки знаходимо з рівняння:

Точка перетину графіка з віссю абсцис \((1; 0).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відстань між двома точками в просторі, знання рівняння сфери.

Рівняння сфери $$ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2. $$ Центр сфери \((0; 0; 0).\)

Точка \(A(0; 0; -5)\) належить сфері, тому радіус сфери \(R=5.\) Рівняння даної сфери $$ x^2+y^2+z^2=25. $$

Координати точки \(N(0; 0; 5)\) задовольняють даному рівнянню.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання означення степеня з раціональним показником, уміння розв’язувати показникові та лінійні рівняння.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості. Аксіоми планіметрії.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв’язування планіметричних задач.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння першого степеня, застосовувати загальні методи та прийоми в процесі розв’язання рівнянь.

Розв’яжемо рівняння першого степеня відносно \(y:\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання кута між прямою та площиною, між площинами, уміння застосовувати властивості піраміди до розв'язування стереометричних задач.

1. 

2. \(SA\ \perp\ (ABC)\), \(SB\) – похила, отже \(AB\) – проекція \(SB\) на \((ABC).\) Тому кут між площинами \(SB\) та \((ABC)\mathord{:}\ \angle SBA=30^\circ.\)

3. У \(\Delta SAB\ (\angle A=90^\circ)\)

4. За умовою, \(\Delta ABC\) – гострокутний, тому основа висоти \(AK\) до сторони \(BC\) належить стороні \(BC.\)

5. \(AK\ \perp\ BC\), \(SK\ \perp BC\) (за теоремою про три перпендикуляри), звідси \((SAK)\ \perp\ BC\), а отже \(\angle SKA\) – лнійний кут двогранного кута між площинами \((SBC)\) та \((ABC).\)

6. 

отже, \(AK=8.\)

7. У \(\Delta SAK\ (\angle A=90^\circ)\)

Відповідь: \(\mathrm{arctg}\ \frac{3\sqrt{3}}{4}.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, нерівності з параметрами; рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

Знайдемо область допустимих значень: $$ \left\{\begin{array}{l} |x+6|-|x|+6\ne 0,\ \ (1)\\ x+2a\ge 0,\\ 4-x\ge 0. \end{array}\right. $$

Розв'яжемо рівняння (1): $$ |x+6|-|x|+6\ne 0 $$

I) при \(x\in (-\infty; -6]\) \begin{gather*} -x-6+x+6=0,\\[7pt] 0=0 \end{gather*} при будь-якому значенні \(x\) знаменник дорівнює нулю, тому на даному проміжку коренів немає.

II) при \(x\in (-6; 0)\) \begin{gather*} x+6+x+6=0,\\[7pt] x=-6 \end{gather*} на даному проміжку немає значень \(x\) при яких знаменник дорівнює нулю.

III) при \(x\in [0; +\infty)\) \begin{gather*} x+6-x+6=0,\\[7pt] 12\ne 0 \end{gather*} на даному проміжку немає значень \(x\) при яких знаменник дорівнює нулю.

Якщо \(-2a\gt 4\), то \(a\lt -2\) розв'язків немає.

Розглянемо випадок \(-2a\le 4\), \(a\ge -2.\)

На області допустимих значень \(x_2=7n,\ n\in Z\) має \(x=0\) корінь.

\(x_1=2-a\) – корінь за умови

при \(a\in [-2; 8)\)

при \(x_1=x_2=0\), \(\ 2-a=0\), \(\ a=2.\)

Відповідь: при \(a\in (-\infty; -2)\) немає коренів;
                   при \(a\in [-2; 0)\ x=2-a\);
                   при \(a\in [0; 2]\cup (2; 8)\ x_1=2-a\); \(x_2=0\);
                   при \(a\in [8; +\infty)\cup \left\{2\right\}\ x=0.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Показникові, логарифмічні, квадратичні функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень та визначення функцій, будувати графіки елементарних функцій.

Знайдемо область допустимих значень:

Розв'яжемо методом інтервалів:

Область визначення даної функції \(D(y)=(0; 5).\)

Використаємо основну логарифмічну тотожність: \(a^{\log_ab}=b\), тоді \(y=5x-x^2.\)

Отже, побудувати необхідно графік квадратичної функції.

\(a=-1\), гілки параболи напрямлені вниз.

Знаходимо координати вершини параболи:

\((2\mathord{,}5; 6{,}25)\) – вершина.

Точки перетину параболи з осями координат:

Побудуємо графік функції на області визначення:

Область значень: \(E(y)=(0; 6\mathord{,}25].\)

Відповідь: \((0; 6\mathord{,}25].\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів.

1. \(AD\ ||\ BC.\) Отже,

2. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) (за правилом трикутника). Отже, \(\overrightarrow{AC}(-2; 12).\)

3. \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BD}(-10; -3).\)

4. Знаходимо скалярний добуток векторів:

Відповідь: \(-16.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики. Перестановки, комбінації, розміщення (без повторень). Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість способів вибрати один торт з десяти: $$ C_{10}^1=10. $$

Кількість способів вибрати \(3\) пачки печива з \(15\) знаходимо:

Необхідно вибрати або \(1\) торт або \(3\) пачки печива, тому використовуємо комбінаторне правило суми:

Відповідь: \(465.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Застосування рівнянь до розв'язування задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, застосовувати рівняння до розв'язування задач.

Розв'яжемо задачу складанням рівняння.

Нехай на виготовлення \(1\) стола необхідно \(x\) пластику, тоді на \(1\) диван витрачають \((x+1)\) кг, а на крісло – \((x+1-3)\) кг.

На \(10\) крісел витрачають стільки пластику, скільки на \(2\) стола та \(4\) дивана, тому

На \(1\) стiл витрачається пластику \(6\) кг, \(1\) диван – \(7\) кг, \(2\) крісла – \(2\cdot 4=8\) кг.

Отже, на виготовлення одного комплекту меблів витрачають $$ 6+7+8=21\ \text{кг} $$ пластику.

Відповідь: \(21.\)