ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на комбінації геометричних тіл, зокрема обчислювати об’єм правильної чотирикутної піраміди за відомими радіусом вписаної кулі та кутом нахилу бічної грані до площини основи піраміди.

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду \(SABCD\), основою якої є квадрат \(ABCD.\) Центр \(O\) вписаної у піраміду кулі належить висоті піраміди – відрізку \(SO_1\) (точка \(O_{1}\) є центром квадрата \(ABCD\), тобто точкою перетину його діагоналей). Позначимо точку, в якій вписана куля дотикається бічної грані \(DSC\), буквою \(K.\) Ця точка лежить на апофемі \(SM.\) Згідно з умовою \(\angle SMO_{1} = 60^\circ\), а \(O_{1}O = OK=3\text{ см}\).

Щоб обчислити об’єм піраміди \(SABCD\), потрібно знати площу \(S_{осн}\) її основи та висоту \(SO_{1}{:}\) $$ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SO_{1}. $$

З рівності прямокутних трикутників \(OO_{1}M\) та \(OKM\) (за гіпотенузою та катетом: \(OO_{1} = OK\), \(OM\) – спільна гіпотенуза) випливає, що

У прямокутному трикутнику \(OO_{1}M\) відомо: катет \(OO_{1} = 3\text{ см}\), \(\angle OMO_{1} = 30^\circ.\) Визначаємо другий катет цього трикутника: $$ O_1M = OO_{1}\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 3\sqrt{3}\ \text{см}. $$

Висоту \(SO_{1}\) визначаємо з прямокутного трикутника \(SO_1M{:}\)

Ураховуючи співвідношення \(AD = 2O_{1}M\), визначаємо площу основи піраміди (квадрата \(ABCD\)):

Отже, шуканий об’єм піраміди \(SABCD{:}\)

Відповідь: \(324.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення дробово-раціонального виразу, використовуючи формули скороченого множення, правила виконання дій з раціональними дробами, та знаходити числове значення виразу при заданих значеннях змінних.

Спочатку спростимо заданий вираз:

Тепер підставимо в отриманий вираз значення \(a = 0{,}1\), \(b = 3{,}7{:}\)

Відповідь: \(-22.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічне рівняння.

Виконавши перетворення: $$ \log_{4}\frac{1}{16} = \log_{4} 4^{-2} = -2, $$ запишемо задане рівняння у вигляді $$ \log_{4} x(\log_{4} x - 2) = 3,\ \text{або } $$ $$ (\log_{4} x)^{2} - 2\log_{4} x - 3 = 0. $$ Отримане рівняння є квадратним відносно змінної \(\ \log_{4} x = t{:}\) $$ t^{2} - 2t - 3 = 0, $$ коренями якого є значення \(t_{1} = -1\) та \(t_{2} = 3\).

Отже, задане рівняння рівносильне сукупності $$ \left[\begin{array}{l} \log_{4} x = -1,\\ \log_{4} x = 3. \end{array}\right. $$ Її розв’язки: $$ \left[\begin{array}{l} x_{1} = 4^{-1} = 0{,}25,\\ x_{2} = 4^{3} = 64 \end{array}\right. $$ є коренями заданого рівняння, їх сума дорівнює $$ 0{,}25 + 64 = 64{,}25. $$

Відповідь: \(64{,}25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії та вміння її застосовувати до розв’язання завдання із практичним змістом.

Оскільки кількість настою кожного наступного дня на одне й те саме число менша за кількість настою, що приймав пацієнт попереднього дня, то щоденні кількості настою утворюють арифметичну прогресію, перший член якої \(a_1 = 370\) мл, а останній двадцятий член \(a_{20} = 85\) мл.

Сумарну кількість настою, що вип’є пацієнт за ці \(20\) днів, визначаємо як суму перших \(20\) членів арифметичної прогресії:

Відповідь: \(4550.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція та її властивості. Середня лінія трапеції та її властивості. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трапеції: середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі. Bміння визначати висоту трапеції як відповідний катет прямокутного трикутника.

1. Згідно з умовою \(MN\) – середня лінія, \(AD\) і \(BC\) – основи трапеції \(ABCD.\) Отже, $$ MN = \frac{AD + BC}{2}, $$ звідки одержимо

2. Опустимо з точки \(C\) на основу \(AD\) перпендикуляр \(CK\) і розглянемо прямокутний трикутник \(CKD\) (див. рисунок).

У цьому трикутнику \(\angle K = 90^\circ\), \(\angle D = 45^\circ\). Тоді $$ \angle C = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ. $$ Отже, трикутник \(CKD\) є прямокутним і рівнобедреним, у якому \(KC = KD.\) Оскільки

Зазначимо, що якщо провести відрізок \(BP\) паралельно стороні \(CD\) (точка \(P\) належить основі \(AD\)), то утвориться прямокутний рівнобедрений трикутник \(BAP\), у якому $$ AB = AP = AD-BC = 8 \text{ см}. $$

Відповідь: 1. \(17.\)
                   2. \(8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки, зокрема знаходити відсоток від числа.

1. Позначимо щомісячний платіж за телефон за \(x\) гривень. За умовою задачі це становить \(10\ \%\) від загальної вартості телефону. Складаємо пропорцію: \begin{gather*} 2260 \text{ грн}\ —\ 100\ \%,\\[7pt] x \text{ грн}\ —\ 10\ \%. \end{gather*} Тоді $$ \frac{2260}{x} = \frac{100}{10}, $$ звідси $$ x = \frac{2260 \cdot 10}{100} = 226 \text{ грн}. $$

2. Сума \(12\) щомісячних платежів становить $$ 226 \cdot 12 = 2712 \text{ грн}. $$ Знайдемо, на скільки гривень ця сума перевищує вартість телефону: $$ 2712 - 2260 = 452 \text{ грн}. $$

Відповідь: 1. \(226.\)
                   2. \(452.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, формули координат середини відрізка, вміння встановлювати належність точки координатній осі чи площині.

Розглянемо початки речень (1–4) та знайдемо твердження, які є правильними для наведених точок.

1. Точка \((4; 0; 0)\), у якої координати \(y\) та \(z\) дорівнюють \(0\), лежить на осі \(x.\) Отже, початку речення 1 відповідає закінчення речення Д. Зазначимо, що якщо точка у просторі лежить на одній з осей координат, то обов’язково дві її координати дорівнюють нулю. Наприклад, точка \((0; -2; 0)\) лежить на осі \(y\), а точка \((0; 0; 3)\) – на осі \(z.\) Якщо й третя координата дорівнює нулю, то точка \((0; 0; 0)\) є початком координат і належить одночасно координатним осям \(x\), \(y\) і \(z.\) Зауважимо також, що якщо точка лежить, наприклад, на осі \(x\), то вона також лежить у координатних площинах \(xy\) та \(xz\), оскільки вісь \(x\) є перетином цих площин.

2. Якщо лише одна з трьох координат точки, заданої у просторі, дорівнює нулю, то така точка лежить у певній координатній площині i водночас не належить жодній з осей координат, що лежать у цій площині. Зокрема, якщо координати \(y\) та \(z\) відмінні від нуля, то точка \((0; y; z)\) лежить у площині \(yz.\) Отже, точка \((0; -3; 5)\) лежить у площині \(yz.\) Таким чином, початку речення 2 відповідає закінчення речення Б.

3. Щоб знайти координати точки, що є серединною відрізка, потрібно обчислити півсуму відповідних координат точок, які є кінцями цього відрізка. Так, серединою відрізка \(OC\), де \(O(0; 0; 0)\), \(C(-2; 6; 0)\), є точка \(M(x_{m}, y_{m}, z_{m})\), у якої \begin{gather*} x_{m} = \frac{0 + (-2)}{2}=-1,\\[6pt] y_{m} = \frac{0 + 6}{2}=3,\\[6pt] z_{m} = \frac{0 + 0}{2}=0. \end{gather*} Отже, точка \((-1; 3; 0)\) є серединою відрізка \(OC\), тож початку речення 3 відповідає закінчення речення В.

4. Залишилося підібрати варіант відповіді для початку речення 4. Помічаємо, що координати точки \((2; -6; 0)\) протилежні відповідним координатам точки \(C(-2; 6; 0).\) Це означає, що ці точки симетричні відносно початку координат, тобто точки \(O(0; 0; 0).\) Отже, початку речення 4 відповідає закінчення речення Г.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – B, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Основні властивості функцій: парність, періодичність, монотонність. Екстремум функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій (степеневої, квадратичної та логарифмічної), заданих формулою, знаходити область визначення, значення функції в точці, використовувати перетворення графіків функцій, знання означення точки екстремуму функції.

1. Функція \(y = x^{3}\) визначена на всій дійсній осі, зростає на всій області визначення, екстремуму не має. Знайдемо значення функції в точці \(x = 8\mathord{:}\) $$ y(8) = 8^{3} \gt 0. $$ Знайдемо значення функції в точці \(x = -3\mathord{:}\) $$ y(-3) = (-3)^{3} = -27 \lt 0. $$ Отже, для початку речення 1 жоден із варіантів A—Г не може бути його закінченням. Функція \(y = x^{3}\) для будь-якого дійсного значення \(x\) задовольнює умову \begin{gather*} y(-x) = -y(x){,}\\[7pt] (-x)^{3} = -x^{3}, \end{gather*} тобто є непарною.

Отже, 1 – Д.

2. Функція \(y = (x + 2)^{2} - 3\) визначена на всій дійсній осі, графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору, абсциса вершини параболи є точкою мінімуму цієї функції, тобто в точці \(x = x_{в}\) функція має екстремум. Залишилося визначити значення \(x_{в}.\) Оскільки графік функції \(y = (x + 2)^{2} - 3\) можна отримати з графіка функції \(y = x^{2}\) за допомогою його перенесення вздовж осі \(x\) ліворуч на \(2\) одиниці й вздовж осі \(y\) вниз на \(3\) одиниці, то абсциса вершини заданої параболи \(x_{в} = -2\), тобто функція \(y = (x + 2)^{2} - 3\) в точці \(x = -2\) має екстремум.

Отже, 2 – В.

3. Функція \(y = \log_{0{,}5} x\) визначена на проміжку \((0; +\infty)\), тому визначена в точці \(x = 1\) і не визначена в точці \(x = -3\). Оскільки основа логарифма \(0{,}5 \lt 1\), то функція є спадною на всій області визначення, отже, не має екстремумів. Окрім зазначеного, функція \(y = \log_{0{,}5} x\) перетинає вісь \(x\) у точці \((1; 0)\), на проміжку \((0; 1)\) набуває додатних значень, а на проміжку \((1; +\infty)\)   від’ємних значень. Таким чином, $$ y(8) = \log_{0{,}5} 8 = -3 \lt 0. $$

Отже, 3 – А.

4. Функція \(y = \sqrt{x - 4}\) визначена для всіх \(x\), що задовольняють умову \(x - 4 \ge 0\), тобто \(x \ge 4.\) Отже, вона не визначена в точках \(x = 1\) і \(x = -3.\) З двох варіантів, що залишилися, для 4 обираємо варіант Б (в точці \(x = -3\) ця функція не може набувати не лише додатного значення, але й жодного іншого).

Отже 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – А, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Подільність чисел.

Це завдання перевіряє вміння знаходити дільники чисел, знання означень простого числа і числа, кратного іншому числу.

1. Серед наведених чисел квадратом натурального числа є число \(16 =4^{2}\), отже, 1 – Б.

2. Натуральне число, більше за одиницю, називається простим, якщо воно має лише два дільники: одиницю та саме число. Іншими словами, просте число ділиться націло лише на \(1\) та на себе. Усі парні натуральні числа більше \(2\) не є простими, оскільки, крім \(1\) та самого числа, вони обов’язково мають дільник \(2.\) Отже, парні числа \(8\), \(16\) та \(56\) не є простими. Число \(27\) також не є простим, воно ділиться націло на \(1\), \(3\), \(9\) і \(27.\) Залишається число \(17.\) Воно має лише два дільники: \(1\) та \(17\), тобто є простим. Отже, 2   В.

3. Число \(a\) називається дільником числа \(c\), якщо \(c\) ділиться на \(a\) націло. Серед наведених чисел на \(8\) націло ділиться тільки число \(8.\) Зауважимо також, що дільник числа не може бути більшим за саме число. Отже, 3 – А.

4. Число \(c\) називають кратним числу \(a\), якщо \(c\) ділиться націло на \(a.\) Серед наведених чисел на \(7\) націло ділиться тільки число \(56\), отже 4 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – A, 4 – Д.