ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів.

З формули \(T=2\mathbf{\pi}\sqrt{LC}\) визначимо \(L\). \begin{gather*} T^2=(2\mathbf{\pi}\sqrt{LC})^2,\\[7pt] T^2=4\mathbf{\pi}^2LC,\\[6pt] L=\frac{T^2}{4\mathbf{\pi}^2C}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення виразів.

Спростимо вираз:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку розуміння змісту поняття екстремуму функції, знання геометричного змісту похідної.

На рисунку функція зростає при \(x \in [-2;-1]\), а спадає – при \(x\in [-1;4]\). Отже, \(x_0=-1\) – точка максимуму цієї функції (точка екстремуму).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення та властивості трапеції.

І спосіб:
\(\angle ADB=\angle CBD=35^\circ\) як внутрішні різносторонні при \(BC\ ||\ AD\) та січної \(BD\). $$ \triangle BCD\ \angle B+\angle C+\angle D=180^\circ, $$ отже $$ \angle C=180^\circ - (20^\circ+35^\circ)=125^\circ. $$

ІІ спосіб:

За властивістю трапеції

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеня.

\begin{gather*} \frac{x}{10}=2,5;\\[6pt] x=2,5\cdot 10=25. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи.

\begin{gather*} AA_1=BB_1=CC_1=DD_1\\[7pt] AB=CD=C_1D_1=A_1B_1\\[7pt] AD=BC=B_1C_1=A_1D_1. \end{gather*} Сума усіх ребер дорівнює $$ 4(AA_1+AB+AD)=4\cdot 60=240\ (\text{см}) $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати дані, подані графіком або таблицею.

А неправильно, бо зупинка тривала 1 годину, а не 4.

Б неправильно, бо туристи не пройшли 20 км.

В неправильно, бо туристи пройшли до зупинки більшу відстань, ніж після зупинки.

Г правильна відповідь. Туристи зробили зупинку через 4 години.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Вартість вхідного квитка в заповідник становить 20 грн для школяра й 50 грн – для дорослого. Отже, за вхідні квитки для групи з 15 школярів та 3 дорослих необхідно $$ 20\cdot 15+3\cdot 50=300+150=450\ (\text{грн}) $$

Для провдення екскурсії необхідно орендувати автобус за 800 грн.

Отже, мінімальна сума грошей для проведення екскурсії: $$ 450+800=1250\ (\text{грн}) $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні та показникові рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

1. Розв'яжемо показникове рівняння:

2. \((3^{x+1}+3^{x+3}-10)\cdot (\sqrt{x^2+a}-\sqrt{3a-6-x^2})=0.\) \begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 3^{x+1}+3^{x+3}-10=0,\\ \sqrt{x^2+a}-\sqrt{3a-6-x^2}=0, \end{array}\right. \\[7pt] \ \ \left[\begin{array}{l} x_1=-1,\\ \sqrt{x^2+a}=\sqrt{3a-6-x^2}. \end{array}\right. \end{gather*}

ОДЗ: \(3a-6-x^2\ge 0.\)

\(x_1=-1\) буде коренем рівняння, якщо буде належати ОДЗ.

Розв'яжемо друге рівняння:

Рівняння має корені, якщо \(a-3\ge 0\), \(a\ge 3.\)

Розглянемо параметричну пряму

при \(a=3\ \ x_2=x_3=0.\)

Відповідь: 1. \(x=-1\)

                   2. якщо \(a\in \left(-\infty; 2\frac 12\right)\), то \(x\in\varnothing\)
                       якщо \(a\in \left[2\frac 13; 3\right)\), то \(x=-1\)
                       якщо \(a\in [3; +\infty)\), то \(x\in\{-1; \sqrt{a-3}; -\sqrt{a-3}\}.\)

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння будувати перерізи призми, знання теореми про три перпендикуляри, кута між прямою та площиною, вміння розв’язувати стереометричні задачі.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – прямокутний паралелепіпед, \(ABCD\) – прямокутник, бічні ребра – висоти паралелепіпеда, \(CC_1D_1D\) – квадрат, \(B_1C=8\) – діагональ бічної грані.

1. Точка \(C_2\) – середина ребра \(CC_1.\)

Побудуємо переріз площиною \(\mathbf{\gamma}\) через \(AD\) та точку \(C_2.\) \((AA_1D_1D)\ ||\ (BB_1C_1C)\) як протилежні грані паралелепіпеда. За властивістю паралельних площин, \(\mathbf{\gamma}\) перетинає паралельні площини по паралельних прямих.

Побудуємо \(B_2C_2\ ||\ BC(BB_1C).\) $$ \left.\begin{array}{l} \mathbf{\gamma}\cap (DD_1C_1)=DC_2\\ \mathbf{\gamma}\cap (AA_1B_1)=AB_2 \end{array}\right| \rightarrow AB_2C_2D - \text{шуканий переріз}. $$

2. Перший спосіб.
\(AB_2C_2D\) – паралелограм. \(AD=B_2C_2\), \(AD\ ||\ B_2C_2\) – ознака паралелограма.
\(C_2C\perp (ABC)\), \(C_2D\) – похила, \(CD\) – проекція похилої.
\(AD\perp DC\) (сторони прямокутника), тому \(C_2D\perp AD\) за теоремою про три перпенидкуляри.
Отже, в паралелограмі \(AB_2C_2D\ \angle D=90^\circ\), тому \(AB_2C_2D\) – прямокутник.

Другий спосіб.
У прямокутнику \(ABCD\) діагоналі \(AC=BD\) (за властивістю прямокутника). $$ \left.\begin{array}{l} B_2B\perp (ABC)\\ C_2C\perp (ABC) \end{array}\right| \rightarrow \left.\begin{array}{l} B_2D,\ \ C_2A - \text{похилі}.\\ BD,\ \ CA - \text{проекції похилих}. \end{array}\right. $$ За властивістю: рівним проекціям відповідають рівні похилі, \(B_2D=C_2A.\)
Отже, у прямокутнику \(AB_2C_2D\) рівні діагоналі. За ознакою прямокутника доводимо, що \(AB_2C_2D\) – прямокутник.

3. \(B_1C_1\perp (DCC_1)\)
\(B_1C\) – похила до площини \((DCC_1)\)
\(CC_1\) – проекція похилої.
За означенням кута між прямою та площиною

У \(\Delta C_2CD\ (\angle C=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: \(16\sqrt{5}\sin2\mathbf{\alpha}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійної та тригонометричної функцій, розв’язувати тригонометричні рівняння, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуємо графіки функцій

\(f(x)=\frac 12\) – пряма

\(g(x)=\sin x\) – синусоїда, \(x\in\left[-\frac{\mathbf{\pi}}{2}; \frac{\mathbf{\pi}}{2}\right].\)

3. Спільна точка графіків функцій \(f\) та \(g\) є точка \(A\left(\frac{\mathbf{\pi}}{6}; \frac 12\right).\)

4. Множина всіх коренів \(f(x)=g(x)\) на інтервалі \((-\infty; +\infty)\) \begin{gather*} \sin x=\frac 12;\\[6pt] x=(-1)^n\mathrm{arcsin}\ \frac 12+\mathbf{\pi}n,\ n\in Z;\\[6pt] x=(-1)^n\frac{\mathbf{\pi}}{6}+\mathbf{\pi}n, n\in Z. \end{gather*}

Відповідь: 3. \(\left(\frac{\mathbf{\pi}}{6};\frac 12\right).\)
                   4. \((-1)^n\frac{\mathbf{\pi}}{6}+\mathbf{\pi}n, n\in Z.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника, знаходити площу трикутника.

Накреслимо трикутник \(ABC. AB=BC.\) Отже, точка \(B\) має абсцису \(-1.\) \((AC=10).\) Нехай координати точки \(B(-1; y).\)

Точка \(B\) лежить на прямій \(y=2x+9,\) тому \(y=2(-1)+9=7,\) \(B(-1; 7).\) \(BK\perp AC.\) \(BK=15\) висота та медіана.

Відповідь: \(75.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв‘язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.

На місце водія є \(2\) можливості посадити водія. Решта копанії розсядуться довільно. Кількість варіантів розсадити на пасажирські місця знаходимо за формулою: \begin{gather*} P(n)=n!,\\[7pt] P(5)=5!=120. \end{gather*}

Усього способів зайняти місця $$ 120\cdot 2=240. $$

Відповідь: \(240.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів піраміди.

\(KABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат, \(AB=9\sqrt{2}\) см, \(BK=15\) см.

У квадраті \(BD=AB\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18\) см.

У \(\Delta KOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BK^2=BO^2+KO^2\),

\(KO=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{6\cdot 6\cdot 4}=6\cdot 2=12\) см – висота піраміди.

\(S_{ABCD}=AB^2=(9\sqrt{2})^2=81\cdot 2=162\) см\(^2.\)

Об'єм піраміди знаходимо за формулою:

Відповідь: \(648.\)