Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь другого степеня.

Розв'яжемо способом додавання

\begin{gather*} + \left\{\begin{array}{l} x^2-y^2=-4,\\ \underline{x^2+y^2=4,} \end{array}\right.\\[3pt] 2x^2=0.\ \ \ \ \\[7pt] x^2=0,\\[7pt] x=0. \end{gather*}

Підставимо \(x=0\) в перше рівняння

\begin{gather*} 0-y^2=-4,\\[7pt] y^2=4,\\[7pt] y=\pm 2. \end{gather*}

Розв'язок системи рівнянь \((0; 2)\) та \((0; -2).\) Отже рівняння має два розв'язки.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

На рисунку зображено квадрат \(ABCD.\) Вектори \(\overrightarrow{AB}\) та \(\overrightarrow{AD}\) із спільним початком. Їх сума зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах.

Отже, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів та знаходити числове значення при заданих значеннях змінних.

Якщо \(\log_43=a\), то за властивостями логарифма

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії, ознаки паралельності прямої та площини, ознаку мимобіжності прямих.

Задано дві мимобіжні прямі \(a\) i \(b.\) Нехай \(a\) міститься в площині \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), \(b\cap \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=B.\)

Проведемо в площині \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) пряму \(b_1\ ||\ a\) через точку \(B.\) Через дві прямі, що перетинаються \(b_1\cap b\), можна провести площину та тільки одну. Нехай це буде площина \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)

\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\ ||\ a\) за ознакою паралельності прямої та площини.

$$ \left.\begin{array}{l} a\ ||\ b_1,\\ b_1\subset \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}, \end{array}\right| \rightarrow a\ ||\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і почаки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати вибіркові характеристики рядів даних, зокрема медіану.

Дані таблиці розставимо за зростанням. Медіаною ряда чисел називається число, яке стоїть посередині впорядкованого за зростанням ряду чисел.

У ряду \(124\), \(140\), \(140\), \(\underline{163}\), \(168\), \(170\), \(195\) посередині стоїть число \(163.\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Використали формулу "різниця квадратів":

$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b). $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивості; вміння розв'язувати рівняння першого ступеня.

За властивістю модуля дійсного числа, рівняння \(|x-1|=6\) рівносильне сукупності таких рівнянь:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x-1=6,\\ x-1=-6, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=7,\\ x=-5. \end{array}\right. \end{gather*}

Сума коренів рівняння дорівнює \(7+(-5)=2.\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення площ поверхонь.

Данo куб, тому грань – квадрат, площею \(12\) см\(^2.\) Ребро куба \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) см.

Діагональ куба знаходимо за формулою \(d=a\sqrt{3}\), де \(a\) – ребро куба.

Отже, \(d=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=2\cdot 3=6\) см.

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, їхні властивості, властивості та означення кореня \(n\text{-го}\) степеня. $$ a^4\cdot \sqrt{a^6}=a^4\cdot \sqrt{(a^3)^2}=a^4\cdot |a^3|. $$

При \(a\ge 0\ |a^3|=a^3\), тому \(a^4\cdot a^3=a^7.\)

Використали властивість степеня з натуральним показником: $$ a^{mn}=(a^m)^n, $$ та властивість кореня \(n\text{-го}\) степеня:

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур, різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

\(\Delta ABC\) – рівносторонній, тому $$ \angle A=\angle B=\angle C=60^\circ. $$

\(\angle KBM=180^\circ\) – розгорнутий. $$ \angle KBA+\angle ABC+\angle CBM=180^\circ. $$

Отже,

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 5^{x-2}=25,\\[7pt] 5^{x-2}=5^2,\\[7pt] x-2=2,\\[7pt] x=4. \end{gather*}

Отже, корінь рівняння \(x=4.\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Функції. Функціональна залежність. Лінійна функція, її властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік функції перетинає вісь абсцис у точці \(A(4; 0).\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Числа та вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей дій з дійсними числами, уміння округлювати десяткові дроби.

Для того, щоб округлити дріб до десятих, необхідно знати цифру, яка стоїть у розряді сотих.

Якщо ця цифра \(5\) або більше, то цифра, яка стоїть в розряді десятих, збільшується на один.

\(2\mathord{,}66\approx 2\mathord{,}7.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля, розв'язувати ірраціональні та квадратні рівняння, розв'язувати системи рівнянь з параметром.

Знайдемо область допустимих значень: $$ \text{ОДЗ:}\ \left\{\begin{array}{l} 3ax-8x-6y\ge 0,\\ x\ge 0. \end{array}\right. $$

Якщо квадрати двох виразів рівні, то вирази або рівні, або протилежні.

1) Розв'яжемо першу систему:

Розв'яжемо способом підстановки:

\begin{gather*} 3ax-8x-6x=x^2,\\[7pt] x^2+14x-3ax=0,\\[7pt] x(x+14-3a)=0. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x_1=0,\ \ y_1=0,\\ x_2=3a-14,\ \ y_2=3a-14. \end{array}\right. \end{gather*}

Знайдемо, при яких значеннях параметра \(a\) ці пари чисел є розв'язками

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 3a\cdot 0-8\cdot 0-6\cdot 0\ge 0,\\ 0\ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

\(a\) – будь-яке. \((0; 0)\) – розв'язок системи при будь-якому значенні \(a.\)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 3a-14\ge 0,\\ 3a(3a-14)-8(3a-14)-6(3a-14)\ge 0, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\ge 4\frac 23,\\ 9a^2-84a+196\ge 0, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\ge 4\frac 23,\\ (3a-14)^2\ge 0, \end{array}\right.\\[6pt] \text{при}\ a\ge 4\frac23\ (3a-14; 3a-14). \end{gather*}

2) Розв'яжемо другу систему:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2x+a=-2y-a,\\ 3ax-8x-6y=x^2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x+y+a=0,\\ 3ax-8x-6y=x^2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=-x-a,\\ 3ax-8x-6(-x-a)=x^2, \end{array}\right. \end{gather*}

підстановкою знаходимо:

\begin{gather*} x^2+x(2-3a)-6a=0,\\[7pt] D=(2-3a)^2-4\cdot (-6a)=(3a+2)^2\ge 0, \end{gather*}

при будь-якому значенні \(a.\)

\begin{gather*} x_1=\frac{3a-2+3a+2}{2}=3a,\\[7pt] x_2=\frac{3a-2-3a-2}{2}=-2\ \not \in \text{ОДЗ},\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=3a,\\ y=-3a-a=-4a. \end{array}\right. \end{gather*}

Знаходимо, при яких значеннях \(a\)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 3a\ge 0,\\ 9a^2-24a+24a\ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

При \(a\ge 0\) розв'язок \((3a; -4a).\)

Відповідь: при \(a\in (-\infty; 0]\ (0; 0)\);
                   при \(a\in \left(0; 4\frac 23\right]\ (0; 0)\), \((3a; -4a)\);
                   при \(a\in \left(4\frac 23; +\infty\right)\ (0; 0)\), \((3a; -4a)\), \((3a-14; 3a-14).\)