ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування ірраціональних нерівностей, уміння розв'язувати нерівності з параметрами.

Розв'язок нерівності \(\sqrt{f(x)}\gt a\) – це сукупність систем:

Таким чином,

Розв'яжемо (1) систему методом інтервалів:

Розв'яжемо (2) систему:

Розглянемо 2 випадки:
1)

Для розв'язку методом інтервалів необхідно з'ясувати при яких значеннях \(a\)

При \(a\in \left[0; \frac 14\right]\)

$$ x\in(-\infty; a)\cup \left(\frac{a^3-1}{a^2-4}; +\infty\right). $$

При \(a\in \left(\frac 14; 2\right)\)

$$ x\in \left(-\infty; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right)\cup (a; +\infty). $$

При \(a=2\ x\gt 2\), \(x\in (2; +\infty).\)

2) $$ \left\{\begin{array}{l} a\in (2; +\infty),\\ \left(x-\frac{a^3-1}{a^2-4}\right)(x-a)\lt 0. \end{array}\right. $$

$$ x\in \left(a; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right). $$

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та пощини у просторі.

Це завдання перевіряє знання кута між площинами, перерізів многогранників; уміння застосовувати властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач.

1. Якщо \(\angle A\) – гострий, то \(BD\) – менша діагональ ромба.

2. Побудуємо переріз призми площиною \(\mathbf{\gamma}\) через \(BD\) та вершину \(C_1.\)

Точки \(D\) та \(C_1\) належать площині \(\mathbf{\gamma}\) та грані \((DCC_1)\), тому \(DC_1\) – слід січної площини на бічной грані \((DCC_1).\) Точки \(B_1\) та \(C_1\) – спільні точки площин \(\mathbf{\gamma}\) та \((BCC_1)\), тому \(BC_1\) – пряма перетину площин \(\mathbf{\gamma}\) та \((BCC_1).\)

Отже, \(BDC_1\) – шуканий переріз.

3. \(CO\ \perp\ BD\) (властивість ромба), тому \(C_1O\ \perp\ BD\) (за теоремою про три перпендикуляра).

Отже, \((C_1OC)\ \perp\ BD\) (за ознакою перпендикулярності прямої та площини).

\(\angle C_1OC=\mathbf{\beta}\) лінійний кут відповідного двограного \(\angle (\mathbf{\gamma}, (ABC))=\angle C_1OC=\mathbf{\beta}.\)

4. У \(\Delta C_1OC\ (\angle C=90^\circ)\),

5. За властивістю ромба \(AC\) – бисектриса \(\angle A\), тому \(\angle OAD=\frac{\mathbf{\alpha}}{2}.\)

У \(\Delta AOD\ (\angle O=90^\circ)\), \(OD=AO\operatorname{tg}\frac{\mathbf{\alpha}}{2}=h\operatorname{ctg}\mathbf{\beta}\cdot \operatorname{tg}\frac{\mathbf{\alpha}}{2}.\)

6.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Квадратична функція. Похідна функції, її геометричний зміст. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння будувати графік квадратичної функції, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою, знаходити похідні елементарних функцій, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу; знання рівняння дотичної до графіка функції в точці.

\(f(x)=x^2-3x-4\) – квадратична функція, графік парабола.

1. Знаходимо точки перетину графіка \(f\) з осями координат:

\((0; -4)\) з віссю \(Oy.\)

За теоремою Вієта $$ \left[\begin{array}{l} x_1=4,\\ x_2=-1. \end{array}\right. $$ \((4; 0)\), \((-1; 0)\) з віссю \(Ox.\)

2. Вершина параболи

\(a=1\gt 0\) віти параболи напрямлені вгору.

3. Знаходимо похідну функції:

4. Рівняння дотичної до графіка функції має вигляд:

Відповідь: 1. \((0; -4)\), \((4; 0)\), \((-1; 0).\)
                   3. \(x_0=2.\)
                   4. \(y=x-8.\)