ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів, знання правил додавання векторів, множення вектора на число.

Умова перпендикулярності векторів – їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Відповідь: \(-0\mathord{,}6.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Нехай \(P_1\) – ймовірність того, що спортсмен влучить у мішень, а \(P_2\) – ймовірність того, що не влучить.

За умовою \(P_1=7P_2\) та \(P_1+P_2=1.\)

Розв'яжемо систему рівнянь:

Розв'яжемо рівняння

Відповідь: \(0\mathord{,}875.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, знання методів розв'язування раціональних рівнянь.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Човен проходить за течією \(24\) км за \(5\) годин, тому швидкість човна була:

\(24:5=4\mathord{,}8\) км/год.

Проти течії човен проходить \(12\) км за \(3\) години, тому швидкість човна проти течії:

\(12:3=4\) км/год.

Швидкість течії знаходимо таким чином:

\((4\mathord{,}8-4):2=0\mathord{,}8:2=0\mathord{,}4\) км/год.

Відповідь: \(0\mathord{,}4.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Нерівності. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення функції, розв'язувати лінійні нерівності.

Область визначення знаходимо з розв'язку нерівності: \begin{gather*} 50-3x\ge 0,\\[7pt] -3x\ge -50,\\[7pt] 3x\le 50,\\[7pt] x\le 50:3,\\[7pt] x\le 16\frac 23. \end{gather*}

Найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення – це число \(16.\)

Відповідь: \(16.\)

26

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їхні вимірювання. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, формул для обчислення площі кругового сектора, прямокутника.

1. Площу кругового сектора знаходимо за формулою $$ S_\text{сек}=\frac{\mathbf{\pi}R^2}{360^\circ}\cdot \mathbf{\alpha}, $$ де \(\mathbf{\alpha}\) – центральний кут.

2. Нехай \(a\) – спільна дотична до секторів. За властивістю дотичної до кола \(AO\ \perp\ a\), \(CO\ \perp\ a\), тому точка \(O\) лежить на прямій \(AC.\)

У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, тому \(AB=8\) см.

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(48.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відношення чисел у вигляді відсотка, відсоток від числа, число за значенням його відсотка.

1. Індійський чай \(180\) г – це складає \(\frac{10}{23}\) від маси суміші.

Отже,

маса суміші.

2. Якщо індійський чай складає \(100\text{%}\), то цейлонський – \(130\text{%}\), тому що маса чаїв складається у відношенні \(10 : 13.\) Отже, цейлонського чаю на \(30\text{%}\) більше.

Відповідь: 1. \(414.\)
                   2. \(30.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(\angle ABC=60^\circ\) (кут рівностороннього трикутника). Отже, 1 – В.

2. \(\Delta ACD\) – рівнобедренний, тому

$$\angle A=\angle D=(180^\circ-\angle ACD): 2=(180^\circ-40^\circ):2=70^\circ.$$

Отже, 2 – Д.

3. \(\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=60^\circ+70^\circ=130^\circ.\)

Кутом між прямими, що перетинаються, називають менший із кутів, що утворився при перетині цих прямих. Кут між прямими \(AB\) та \(AD\) – це гострий кут, тому він дорівнює \(180^\circ-130^\circ=50^\circ\) (суміжний з \(\angle BAD\)). Отже, 3 – Б.

4. \(\angle BAD=130^\circ.\) \(AK\) – бісектриса \(\angle BAC\), \(AP\) – бісектриса \(\angle CAD.\)

\begin{gather*} \angle KAP=\angle KAC+\angle CAP=\frac 12 \angle BAC+\frac 12 \angle CAD=30^\circ+35^\circ=65^\circ. \end{gather*}

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – Б, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів і знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінної.

1. \(\frac 73a=\frac 73\cdot 15=\frac{7\cdot 15}{3}=35\)

ділиться націло на \(5.\) Отже, 1 – Д.

2. \(2a-1=2\cdot 15-1=29\)

є простим числом. Отже, 2 – Б.

3. \(a^2+12a+36=(a+6)^2=(15+6)^2=21^2\)

ділиться націло на \(3.\) Отже, 3 – Г.

4. \(a^2+13^2=15^2+13^2=225+169=394\)

є парним числом. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – Г, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

Використаємо властивість логарифма: $$ \log_a b^n=n\cdot \log_a b, $$

Звідси, \(x=9\) корінь рівняння. Проміжок, якому належить корінь рівняння \((8; 10].\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників, знання формули для обчислення площі поверхні.

Дано: правильна трикутна піраміда, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

\(AB=BC=AC=10\) см, \(DA=DB=DC=13\) см. \(DK\ \perp\ BC\) – апофема, \(CK=KB=5\) см.

У \(\Delta DKB\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

$$ S_\text{біч}=p_\text{осн}\cdot l, $$ де \(p_\text{осн}\) – півпериметр основи, \(DK=l\) – апофема.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона-Лейбніцa для обчислення визначеного інтеграла.

$$ \mathop{\int}\limits_{0}^2 f(x)dx=8. $$

За формулою Ньютона-Лейбніца:

Звідси,

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивостей.

За властивістю модуля дійсного числа

Спрощуємо вираз:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, уміння розв'язувати задачі на арифметичні прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=a_1+d(n-1)\) знаходимо кількість від'ємних членів прогресії:

Найбільше ціле, яке є розв'язком нерівності \(n=14\), є розв'язком задачі.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів та знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінних.

\(2\sin \mathbf{\alpha}=\cos \mathbf{\alpha}.\) Поділимо обидві частини рівності на вираз \(\cos \mathbf{\alpha}\ne 0.\)

Відповідь: Г.