ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування ірраціональних нерівностей, уміння розв'язувати нерівності з параметрами.

Розв'язок нерівності \(\sqrt{f(x)}\gt a\) – це сукупність систем:

Таким чином,

Розв'яжемо (1) систему методом інтервалів:

Розв'яжемо (2) систему:

Розглянемо 2 випадки:
1)

Для розв'язку методом інтервалів необхідно з'ясувати при яких значеннях \(a\)

При \(a\in \left[0; \frac 14\right]\)

$$ x\in(-\infty; a)\cup \left(\frac{a^3-1}{a^2-4}; +\infty\right). $$

При \(a\in \left(\frac 14; 2\right)\)

$$ x\in \left(-\infty; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right)\cup (a; +\infty). $$

При \(a=2\ x\gt 2\), \(x\in (2; +\infty).\)

2) $$ \left\{\begin{array}{l} a\in (2; +\infty),\\ \left(x-\frac{a^3-1}{a^2-4}\right)(x-a)\lt 0. \end{array}\right. $$

$$ x\in \left(a; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right). $$

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та пощини у просторі.

Це завдання перевіряє знання кута між площинами, перерізів многогранників; уміння застосовувати властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач.

1. Якщо \(\angle A\) – гострий, то \(BD\) – менша діагональ ромба.

2. Побудуємо переріз призми площиною \(\mathbf{\gamma}\) через \(BD\) та вершину \(C_1.\)

Точки \(D\) та \(C_1\) належать площині \(\mathbf{\gamma}\) та грані \((DCC_1)\), тому \(DC_1\) – слід січної площини на бічной грані \((DCC_1).\) Точки \(B_1\) та \(C_1\) – спільні точки площин \(\mathbf{\gamma}\) та \((BCC_1)\), тому \(BC_1\) – пряма перетину площин \(\mathbf{\gamma}\) та \((BCC_1).\)

Отже, \(BDC_1\) – шуканий переріз.

3. \(CO\ \perp\ BD\) (властивість ромба), тому \(C_1O\ \perp\ BD\) (за теоремою про три перпендикуляра).

Отже, \((C_1OC)\ \perp\ BD\) (за ознакою перпендикулярності прямої та площини).

\(\angle C_1OC=\mathbf{\beta}\) лінійний кут відповідного двограного \(\angle (\mathbf{\gamma}, (ABC))=\angle C_1OC=\mathbf{\beta}.\)

4. У \(\Delta C_1OC\ (\angle C=90^\circ)\),

5. За властивістю ромба \(AC\) – бисектриса \(\angle A\), тому \(\angle OAD=\frac{\mathbf{\alpha}}{2}.\)

У \(\Delta AOD\ (\angle O=90^\circ)\), \(OD=AO\operatorname{tg}\frac{\mathbf{\alpha}}{2}=h\operatorname{ctg}\mathbf{\beta}\cdot \operatorname{tg}\frac{\mathbf{\alpha}}{2}.\)

6.