Завдання за темою з математики

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів геометричних тіл, знання основних властивостей піраміди.

1. \(SABCD\) - правильна піраміда. \(ABCD\) - квадрат, \(SO\) - висота, \(AC\cap BD=0\).

\(SK\perp AB,\ SK=6\) - апофема.

\(\angle BSA=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) - плоский кут при вершині \(S\).

2. \(\triangle BSA\) - рівнобедрений \(\rightarrow SK\) - висота, бісектриса та медіана. \begin{gather*} \angle KSA=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2},\ \ SK=6.\\[6pt] AK=SK\mathrm{tg} S=6\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}.\\[6pt] AB=2AK=12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}. \end{gather*}

3. \(OK=AK=6\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\) (\(\triangle AOB\) - рівнобедрений прямокутний). $$ S_{ABCD}=AB^2=\left(12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\right)^2=144\mathrm{tg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}. $$ У \(\triangle SOK\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: 2. \(12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\)
3. \(\frac{288\mathrm{tg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\sqrt{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

1. \(\triangle DSC=\triangle BSC\) (\(SABCD\) - правильна піраміда), \(DM\perp SC\), \(BM\perp SC\) - відповідні висоти в рівних трикутниках. \((DSC)\cap(BSC)=SC\). \begin{gather*} \left. \begin{array}{ c c c} SC\perp MD & \\ SC\perp MB & \\ BM\cap DM& \end{array}\right| \rightarrow (BMD)\perp SC\rightarrow \end{gather*} \(\angle BMD\) - лінійний кут відповідного двогранного між \((BSC)\) та \((DSC)\).
\(\angle BMD=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\).

2. 1) \(\triangle SOD\ (\angle O=90^\circ)\)

2) \(\triangle BMD\) - рівнобедрений (\(BM=MD)\) \(MO\) - бісектриса, висота та медіана. $$ \angle BMD=\angle OMD=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}}{2}. $$

3) \begin{gather*} \triangle SMD\ (\angle M=90^\circ)\\[6pt] MD=SD\cdot\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=\frac{6\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=\\[6pt] =\frac{6\cdot 2\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=12\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}. \end{gather*}

4)

Відповідь: \(2\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\right)\).

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

\(EABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат зі стороною 6 см.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

\(EF\) – апофема (висота бічної грані).

\(ABCD\) – квадрат зі стороною \(8\ \text{см}\). $$ S_{\text{повної}}=S_{\text{бічної}}+S_{\text{основи}}=208\ \text{см}^2 $$

За формулою

запишемо площу бічної поверхні (де \(m=EF\)) $$ S_{\text{основи}}=8^2=64\ (\text{см}^2) $$

Отже,

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат, \(\text{точка}\ O\) – центр квадрата.

1. \(AC=2AO=2\sqrt{6}\) діагоналі квадрата в точці перетину діляться навпіл. Отже, 1 – Г.

2. \(\Delta SOC\ (\angle O=90^\circ)\)

Oтже, 2 – A.

3. У правильній піраміді бічні ребра рівні \(AS=CS.\) \(\Delta SOC\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Oтже, 3 – Б.

Відповідь: 1Г, 2А, 3Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Перевіряє знання про многогранники та їхні елементи, основні види многогранників: призму, паралелепіпед, піраміду.

На рисунку зображена розгортка чотирикутної піраміди. Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

Об'єм піраміди знаходимо за формулою $$ V=\frac 13 S_\text{осн}\cdot H. $$

Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – \(a.\) \(S_\text{кв}=S_\text{осн}=a^2.\) Висота піраміди дорівнює \(a\) за умовою \(H=a.\)

Отже, \(V=\frac 13\cdot a^2\cdot a=\frac{a^3}{3}.\)

Відповідь: Г.